Motivation und Nutzen für die Kategorientheorie?

Ich selbst finde die reine Kategorientheorie um ihrer selbst willen ziemlich schwer zu schlucken und denke lieber an konkrete Anwendungsbeispiele. Lassen Sie mich also einige (historische) Beispiele dafür geben, wie die Abstraktion der Kategorientheorie zu bedeutenden mathematischen Fortschritten geführt hat.

1. Es gibt die Theorie der Etale-Kohomologie. Die Etale-Kohomologie ist eine Variante der Standard-Garben-Kohomologie, der man in algebraischen Geometriekursen begegnet.* Der Ausgangspunkt ist eine kategorische Beobachtung: Die Garben-Axiome sind grundsätzlich funktoriell; eine Garbe auf einem topologischen Raum$X$ist ein kontravarianter Funktor aus der Kategorie der offenen Mengen von$X$(mit den Morphismen die Inklusionen), die eine bestimmte Exaktheitseigenschaft erfüllt. Auf diese Weise interpretiert, ist es möglich, von Garben auf einer allgemeinen Kategorie mit einem geeigneten Überdeckungsbegriff (dh einer Grothendieck-Topologie) zu sprechen . Wenn man verschiedene Kategorien verwendet (z. B. gibt die Zariski-Site eine reguläre Garbenkohomologie an, die Etale-Site jedoch eine Etale-Kohomologie), kann man unterschiedliche Kohomologietheorien erhalten. (Als weiteres Beispiel hat Grothendieck übrigens in der Theorie der etalen Fundamentalgruppe einen abstrakten Ansatz zur Galoistheorie entwickelt, der nicht nur die Analogie zwischen der Galoistheorie und der Klassifikation von Überdeckungsräumen verdeutlicht, sondern es erlaubt, rein kategorisch eine Algebra zu konstruieren$\pi_1$.)

2. In der Homotopietheorie vereinte Quillens Sprache der Modellkategorien die Ideen hinter der Homotopietheorie simplizialer Mengen und der Homotopietheorie topologischer Räume. Mit anderen Worten, um Homotopietheorie in dieser Sprache zu betreiben, braucht man einfach eine Kategorie mit geeigneter Struktur darauf (Karten, die als Cofibrationen, Fibrationen und schwache Äquivalenzen bezeichnet werden; diese sollen die Begriffe Serre-Cofibration, Fibration und schwache Homotopie abstrahieren Äquivalenz und Auftriebseigenschaften erfüllen), und allein daraus kann man die Homotopie konstruierenKategorie. Auf diese Weise konnte Quillen effizient neue Beispiele für Modellkategorien finden, die man möglicherweise nicht sofort mit der "Homotopietheorie" in Verbindung bringt, wie z. B. die Modellkategorie der simplizialen kommutativen Ringe; damit und einer abstrakten Homologiedefinition konnte er den sogenannten Kotangenskomplex und damit die von Grothendieck vermutete Andre-Quillen-Kohomologie eines Rings konstruieren.

3. Simpliziale Mengen selbst können rein kombinatorisch betrachtet werden: Sie sind eine Folge von Mengen$X_n$mit geeigneten Grenz- und Entartungskarten, und das ist alles, was man braucht. Aber für einen Menschen ist diese Notationsfolge etwas beeindruckend und nicht intuitiv; Es ist viel sauberer, die Sprache der Kategorien zu verwenden und zu sagen, dass sie (kontravariante) Funktoren aus der Kategorie der endlich geordneten Mengen in die Kategorie der Mengen sind. Dies ermöglicht es einem, Dinge wie den Standard einfach zu konstruieren$n$-Simplex$\Delta[n]$und sehen Sie seine universelle Eigenschaft (weil es nur eine Folge des allgemeinen kategorischen Unsinns ist, Yonedas Lemma). Ein Vorteil des kategorialen Denkens besteht darin, dass es tatsächlich eine allgemeine Theorie (anscheinend von Cisinski entwickelt ) zum Konstruieren von Modellstrukturen auf Prägarben-Kategorien gibt, obwohl ich sehr wenig darüber weiß.

4. In der Mathematik kommt es häufig vor, dass ein Objekt eine Familie von Dingen auf irgendeine Weise parametrisiert . Zum Beispiel parametrisiert das Hilbert-Schema geschlossene Unterschemata eines projektiven Schemas, während der projektive Raum selbst Linienbündel zusammen mit einem Satz von Generatoren parametrisiert; es gibt noch zahlreiche weitere beispiele. In jedem Fall ist es ein wenig schwierig, genau zu sagen, was "parametrisiert" wirklich bedeutet: Der elegante Ansatz besteht darin, zu sagen, dass ein bestimmter Funktor darstellbar ist . Mit anderen Worten, es ist zu sagen, dass ein Funktor$F$können als Karten in einem Objekt realisiert werden$X$, das ist das "universelle" Parametrierobjekt. Es ist oft von Interesse, einige spezifische Kriterien für die Darstellbarkeit eines allgemeinen Funktors anzugeben (und hierin liegt die Essenz des kategorialen Ansatzes; die Darstellbarkeit individuell für einen konkreten Funktor zu beweisen, ist eine Aufgabe, die a priori ohne Berufung auf die Kategorie formuliert werden könnte Theorie). In der algebraischen Topologie besagt ein ziemlich spektakuläres Ergebnis (das Brown-Darstellbarkeitstheorem ), dass alles, was irgendwie wie Kohomologie aussieht (insbesondere jede außergewöhnliche Kohomologietheorie), in der Kategorie Homotopie darstellbar ist, zumindest wenn Sie sich an CW-Komplexe halten. Dies ist wirklich ein umfassendes Ergebnis, da es auf eine sehr große Klasse von Funktoren zutrifft.**

(In der algebraischen Geometrie sind mir keine so starken Hinlänglichkeitsbedingungen bekannt . Andererseits gibt es ziemlich strenge notwendige Bedingungen, die jeder darstellbare Funktor in der Kategorie der Schemata erfüllen muss – solche Funktoren müssen Garben in geeigneten Grothendieck-Topologien sein (vgl. oben 1.) Dies ist in der Praxis eine Art Abstiegsbedingung.)

*Ich denke, man argumentiert vernünftigerweise, dass sogar die Einführung der Garbenkohomologie eine Revolution des kategorialen Ansatzes war: Garbenkohomologie ist (am allgemeinsten) als ein abgeleiteter Funktor auf der Kategorie der Garben definiert, aber ein abgeleiteter Funktor auf einer abelschen Kategorie, nicht irgendetwas das ist offensichtlich eine Kategorie von Modulen. (Der Begriff der Ableitung von Funktoren in einer abelschen Kategorie wurde, wenn ich mich nicht irre, in Grothendiecks Tohoku-Artikel eingeführt.)

**Eine interessante Anwendung davon ist der Fall der singulären Kohomologie selbst. Die Implikation ist, dass wenn$X$ein CW-Komplex ist, dann gibt es einen festen Raum$K(G, n)$(für jede abelsche Gruppe$G$Und$n \in \mathbb{Z}$) so dass Homotopieklassen von Karten$X \to K(G, n)$stehen natürlich in Bijektion mit Kohomologieklassen in$H^n(X, G)$. Daraus folgt das$K(G, n)$kann nur eine nichtverschwindende Homotopiegruppe haben, und man erhält als Folge dieses kategorischen Unsinns die Eilenberg-Maclane-Räume . (Fairerweise sollte ich wahrscheinlich darauf hinweisen, dass zum Beispiel Hatchers Konstruktion der Eilenberg-Maclane-Räume im Grunde ein Spielzeuganalogon des Beweises der Brown-Darstellbarkeit ist.)

Schließlich ist ein großer Vorteil der kategorialen Philosophie (auf den ich bereits angedeutet habe) die Möglichkeit, Ideen wiederzuverwenden. Einige Ideen, wie das Lemma von Yoneda oder die Idee einer universellen Eigenschaft, brauchen eine Weile, um sie zu verdauen, aber sie tauchen so erstaunlich oft in verschiedenen mathematischen Disziplinen auf, dass es einfach effizienter ist, sie einmal in maximaler Allgemeinheit zu beweisen, als sie noch einmal zu tun immer wieder ein Sonderfall davon. Ein Grund dafür ist vielleicht, dass so viele Konstruktionen, denen man in der Mathematik begegnet (das Tangentenbündel an eine glatte Mannigfaltigkeit, die singuläre (Ko-)Homologie oder Homotopiegruppen eines topologischen Raums, das Tensorprodukt von Moduln (oder Ringen), die Operation des Basiswechsels in der algebraischen Geometrie) sind letztlich Funktoren.

Als ich in der Graduiertenschule war, hatte ich die Idee, dass die Kategorientheorie eine bequeme Sprache sei, um Dinge auszudrücken, aber sie hatte keine tiefgreifenden Ergebnisse. Allerdings glaube ich jetzt, dass nichts weiter von der Wahrheit entfernt sein könnte! Die Kategorientheorie hat sich jetzt als unglaublich nützlich in der Topologie für sehr konkrete Probleme erwiesen, wie zum Beispiel das Auffinden von Knoteninvarianten und sogar 3- und 4-Mannigfaltigkeitsinvarianten. Reshetikhin-Turaev-Invarianten, das Kontsevich-Integral und die Khovanov-Homologie sind leistungsstarke Link-Invarianten, die alle über einen kategorialen Ansatz entstehen.