Einführung in Bourbaki-Strukturen und ihre Beziehung zur Kategorientheorie

Als Bourbaki in den 1930er Jahren anfing, gab es zum einen keine „Kategorientheorie“. Eines der Probleme, mit denen sich die Gruppe befasste, war der Mangel an „modernen“ Texten (nicht nur auf Französisch) und verschiedene Genauigkeitsprobleme in einigen bestehenden Quellen. Rückblickend war ihr Begriff der "Struktur" kein großer Erfolg, und sie selbst haben ihn in späteren Bänden nicht wirklich verwendet.

Es war keine völlig frivole Idee, insofern man die Dynamik von Wechselwirkungen "verschiedener" grundlegender Begriffe ("algebraisch" und "topologisch" usw.) beobachten kann. Im Nachhinein war die Bourbaki-Gruppe jedoch naiv in Bezug auf Grundlagen und Philosophie -der-Mathematik, ungeachtet ihrer großen Stärken in der Mathematik per se. Sogar ihre Einstellung zur Analyse scheint verzerrt. Wo ist zB das PDE-Volumen? :)

Leo Corrys Buch „Moderne Algebra und der Aufstieg mathematischer Strukturen“ enthält eine Diskussion von Bourbakis „Strukturen“ und stellt Vergleiche sowohl zur Kategorientheorie als auch zu einigen anderen frühen konkurrierenden Begriffen an.

Aber neben anderen Schlussfolgerungen kann man Bourbakis Begriff der "Struktur" in Bezug auf die Praxis der Mathematik oder sogar für das Lesen von Bourbaki (!) ignorieren.

Bearbeiten: Ich denke auch, dass wir "grundlegende" von "organisatorischen" Versuchen/Konzepten unterscheiden sollten, obwohl ein Ansatz beides beinhalten kann. Es scheint nicht, dass die Mengentheorie jemals versucht hat, Organisationsprinzipien für die Mathematik bereitzustellen, sondern nur grundlegende (und interessante eigene Fragen). Im Gegensatz dazu war die Kategorientheorie schon immer viel mehr organisatorisch als grundlegend (trotz der Arbeit von Lawvere und vielen anderen in jüngerer Zeit). Meiner Wahrnehmung nach hatten Bourbakis „Strukturen“ eher eine organisatorische als eine grundlegende Absicht, obwohl wohl jede „Ökonomie“ von Konzepten die grundlegenden Lasten leichter machen sollte.

Ich habe ein wenig von Bourbakis Strukturdefinition gesehen. Die Bourbaki-Gruppe definiert Struktur grob als eine Sammlung von Mengen mit Funktionen und Beziehungen darauf. Sie nehmen als Beispiel einen topologischen Raum, der eine Menge zusammen mit einer Teilmenge ihrer Potenzmenge ist. Bourbakis Strukturen sind alles, was auf diese Weise definiert werden kann, wie Gruppen usw.

Die Kategorientheorie untersucht Klassen von Objekten und ihre Morphismen. Es versucht, Konstruktionen anhand abstrakter Eigenschaften von Morphismen und Diagrammen zu klassifizieren. Zum Beispiel haben wir in der Kategorie eine Beschreibung eines Produkts, ohne jemals „Elemente“ zu verwenden, und diese Definition eines Produkts gilt für alle Kategorien; Ob ein Produkt tatsächlich existiert, ist eine andere Frage. Manchmal tut es das und manchmal nicht.

Die Kategorientheorie gibt uns von vornherein keinen offensichtlichen Weg, vertraute Strukturen wie Gruppen zu konstruieren, obwohl eine interessante Mathematik dahintersteckt, wie weit man allein mit dem Konzept einer Kategorie gehen kann.

Ich schlage vor, Bourbaki ganz zu vergessen, es sei denn, (a) Sie benötigen ein bestimmtes Ergebnis oder (b) Sie interessieren sich für historische Behandlungen. Da Bourbaki viel abgedeckt hat, hängt es davon ab, was Sie stattdessen wählen sollten, was Sie lernen möchten. Wenn Sie an Kategorientheorie interessiert sind, schauen Sie weiter bei Mac Lane oder versuchen Sie es mit Awodeys Buch.

Wenn Sie andererseits daran interessiert sind, die Mathematik anhand ihrer Modelle und ihrer Struktur zu analysieren, versuchen Sie es mit der Modelltheorie. Es ist ein Zweig der Logik, der die Arten von Modellen untersucht, die für einen bestimmten Satz von Axiomen auftreten können, und wie sich diese Modelle unterscheiden, sowohl aus einer Perspektive erster Ordnung (dh was kann man nur anhand von Sätzen erster Ordnung unterscheiden) als auch von außen Perspektive (sind sie isomorph?). David Markers Buch über Modelltheorie ist eine schöne Einführung.

Wenn Sie nur an bestimmten Strukturen wie Gruppen, Ringen usw. interessiert sind, lesen Sie etwas abstrakte Algebra. Sie sollten mit abstrakter Algebra gut vertraut sein, damit Sie verstehen, warum die Kategorientheorie so wichtig ist. Je nachdem, wie viel Algebra Sie wissen, könnte es Sie interessieren, ein einführendes Buch wie Rotmans über homologische Algebra in die Hand zu nehmen. Sie können sich auch Weibels Buch über homologische Algebra ansehen, das mein Favorit ist, obwohl es fortgeschrittener ist.

Die meisten Algebra-Lehrbücher für Hochschulabsolventen führen einige wirklich grundlegende Kategorientheorien ein und verwenden sie in der Algebra. Jacobsons Basic Algebra 2 ist ziemlich nett und enthält verschiedene Diagrammdefinitionen.

Meiner Ansicht nach ist die Kategorientheorie eine wohldefinierte mathematische Theorie mit einer kleinen Menge von Definitionen und Axiomen, die speziell zum Beschreiben und Beweisen von Dingen für Kategorien bestimmt sind, wobei viele Instanzen dieser Theoreme in der gesamten Mathematik anwendbar sind.

Andererseits bietet die Bourbaki-Schule wirklich einen sehr formalen -Ansatz- für alle Mathematik. Es ist eher ein Ansatz, eine allgemeine Art der Präsentation als alles andere. Es gibt keine Bourbaki-'Theorie' (Sammlung von Theoremen). Der Bourbaki-Ansatz ist ein Versuch, traditionelle Mathematik in einer bestimmten Weise darzustellen.

Mit dem Bourbaki-Ansatz erhalten Sie also eine Art Mathematikkultur, aber mit der Kategorientheorie erhalten Sie kategoriespezifische Theoreme (die ihre Anwendung auf andere spezifische Bereiche der Mathematik haben).