Auf der Suche nach einem Leitfaden für Schüler zum Verfolgen von Diagrammen

Ich bringe mir selbst etwas Kategorientheorie bei, und ich finde, dass ich sehr langsam bin, wenn es darum geht, Diagrammen nachzujagen. Ich brauche manchmal sehr lange, um zu entscheiden, ob das Hinzufügen eines Pfeils zu einem Diagramm die Kommutativität des Diagramms bewahrt oder ob ein bestimmter Pfeil existiert oder einzigartig ist oder ob zwei entgegengesetzte Pfeile tatsächlich invers zueinander sind usw. Umgekehrt Mehr als einmal bin ich durch nachlässiges Denken in Diagrammen in eine Sackgasse geführt worden.

Ich suche nach einem "Studentenleitfaden zur Diagrammverfolgung" oder einem Äquivalent. Dh eine Sammlung von Tipps, Faustregeln, Dos-and-Donts etc., die sich an Einsteiger richtet. ZB Regeln wie: "Zwei beliebige Pendeldiagramme können entlang einer gemeinsamen Kante eingefügt werden".

Wenn Sie zufällig eine solche Anleitung kennen 1 , lass es mich bitte wissen.

Danke!

1 IOW, bitte googeln Sie es nicht für mich. Ich habe dies bereits getan und nichts gefunden, was zu der oben gegebenen Beschreibung passt. Meine einzige Hoffnung ist, dass ein solcher Leitfaden als Anhang zu einem Buch oder vielleicht als unveröffentlichte Unterrichtsnotizen existiert.

AKTUALISIEREN

Ich dachte, dass einige Leser diese warnende Geschichte aufschlussreich finden werden.

Während ich eine Übung zum Drücken von Pfeilen/Diagrammen durcharbeitete, zeichnete ich dieses Diagramm

Unschuldig aussehend, aber falsch

(FWIW, alle diese Diagramme sind im guten alten Set .)

Hier, U Π γ , δ v ist die binäre Beziehung

{ ( u , v ) | γ ( u ) = δ ( v ) } ⊆ U × v = U Π v ,

Und ρ U , ρ v werden von gegeben ρ U ( ( u , v ) ) = u , ρ v ( ( u , v ) ) = v . Die Karten π U , π v sind natürlich die kanonischen Projektionen des Produkts U Π v . (Pfeile mit zwei Spitzen bezeichnen Epimorphismen und "geschwänzte" Pfeile wie der für δ , bezeichnen Monomorphismen.)

Das Diagramm sah zunächst ziemlich unschuldig aus: nichts weiter als der übliche kategorische Pullback (den ich hier nenne U Π γ , δ v , um ein "Faserprodukt" vorzuschlagen):

Der übliche kategorische Rückzug

...komfortabel ausgestattet mit seiner Aufnahme ι γ , δ in das übliche kategoriale Produkt:

Aufnahme in das übliche kategoriale Produkt

Unnötig zu sagen, dass ich bald begann, einige offensichtlich unsinnige Schlussfolgerungen abzuleiten (das heißt aus dem ersten Diagramm oben), wie " δ ist monic ⇒ π U ist monic ⇒ U Π v ≅ U ".

Ich habe lange gebraucht , um herauszufinden, dass die Fehlerquelle dieses Unterdiagramm fälschlicherweise als kommutativ behandelte:

Das ist sehr falsch!

Außer in Ausnahmefällen (z v ≅ W ≅ 1 , das Singleton), ist dieses letzte Diagramm falsch.

Ich bin mir sicher, dass diese Geschichte eine Moral hat (abgesehen von „Diagramme sind kniffliger als sie aussehen“ und „Sei nicht dumm!“), aber ich habe sie noch nicht ganz herausgefunden.

Es gibt keinen ultimativen Leitfaden für die Diagrammverfolgung von Beweisen. Vielleicht solltest du eins schreiben :)

Antworten (4)

Ein Teil des Problems besteht darin, dass viele Mathematiker, die sich stark mit kategorialen Konstruktionen und Denkweisen beschäftigen, denken, dass das meiste einfach offensichtlich ist , wenn man sich die Diagramme ansieht – folgen Sie einfach den Pfeilen, sagen sie. Ich denke, die meisten Anfänger würden anderer Meinung sein, aber aus irgendeinem Grund dringt es nie ein.

Bei relativ einfachen Konstruktionen wie kommutativen Dreiecken und Quadraten ist es leicht zu sagen, dass es offensichtlich ist, da Sie sie einfach in Form von guten altmodischen funktionalen Argumenten erneut ausdrücken können (schreiben Sie die Zusammensetzungen explizit aus). Aber in der realen Welt kommt man mit dieser Maschinerie nicht wirklich weit, wenn man nicht viel kompliziertere Diagramme lesen kann. Sogar der Beweis des Schlangen-Lemmas in der homologischen Algebra – der viele Doktoranden verwirrt – ist Babykram im Vergleich zu einigen der Diagramme, die Sie in anderen Bereichen dieses Fachs sehen werden. Einschließlich einer Reihe von dreidimensionalen Pfeiljagden.

Also stimme ich zu – es gibt einen Bedarf an einer guten Übungsquelle zu diesem Material für Anfänger. Bis jemand eine schreibt, müssen Sie etwas herumgraben und eine Patchwork-Quelle zusammenstellen. Paulo Aluffis Algebra:Chapter 0 bietet wahrscheinlich die beste Einführung in die Diagrammjagd und ihre Beziehung zu Kategorien, die es derzeit gibt. Es ist wirklich als Präsentation für absolute Anfänger konzipiert - es macht einen sehr guten Job und hat viele gute Übungen zum Üben. Eine allgemeinere und gleichermaßen hilfreiche Einführung findet sich in Harold Simmons' An Introduction to Category Theory . 2 weitere, weniger umfassende, aber gleichermaßen hilfreiche Quellen sind Kapitel 4 von Ashs Basic Abstract Algebra , das online auf Ashs Website und auf den Seiten 43-53 von PM Cohns verfügbar istEine Einführung in die Ringtheorie . Ich denke, Sie werden all diese Quellen als hilfreich empfinden.

"... ist Babykram im Vergleich zu den Diagrammen, die Sie in der Theorie höherer Kategorien sehen werden ..." In der Theorie höherer Kategorien wird tatsächlich sehr wenig nach Diagrammen gesucht. Dies kommt häufiger vor (aber immer noch nicht so oft, wie es diese Frage oder diese Antwort scheinen lässt) in der homologischen Algebra und einigen Dingen mit triangulierten Kategorien. Zum Beispiel denke ich, dass das wahrscheinlich größte Diagramm, das in der gesamten Höheren Topos-Theorie niedergeschrieben wurde, höchstens 6 bis 8 Objekte beinhaltet – die meisten beinhalten 4.
@Dylan Ok, fair genug, ich weiß nicht viel über die Theorie höherer Kategorien. Ich habe die Aussage entsprechend angepasst.

Nun, das erste Problem ist, dass es keine strengen Konventionen für die Verwendung und Bedeutung von Diagrammen gibt. Obwohl es eine formale Definition gibt – ein Diagramm von Objekten und Pfeilen in einer Kategorie C ist ein Funktor F : J → C , für eine (kleine) Indizierungskategorie J – In der Praxis reicht ein gedrucktes Diagramm ohne erläuternde Bemerkungen möglicherweise nicht aus, um festzustellen, was J Ist. Betrachten Sie zum Beispiel das traditionelle Equalizer-Diagramm:

∙ → ∙ ⇉ ∙
Es ist „offensichtlich“, dass die beiden parallelen Pfeile nicht gleich sind. Dies ist also eine Ausnahme von der üblichen Regel, dass jeder Pfad durch ein Diagramm zwischen zwei Knoten gleich sein sollte. Doch genau diese Konvention gilt, wenn es „offensichtlich“ ist, dass die zusammengesetzten Pfeile gleich sind. Aber ich schweife ab.

Es ist wahr, dass das Einfügen zweier kommutativer Diagramme entlang eines übereinstimmenden Pfadpaares ein kommutatives Diagramm ergibt. Dies geschieht im Wesentlichen durch eine diskrete Verformung von Bahnen. Betrachten Sie beispielsweise die folgenden Diagramme:

∙ → F ∙ G ↓ ↓ H ∙ → k ∙ ∙ → F ' ∙ G ' ↓ ↓ H ' ∙ → k ' ∙
Vermuten H = G ' . Um zu überprüfen, ob das Diagramm
∙ → F ∙ → F ' ∙ G ↓ G ' ↓ H ↓ H ' ∙ → k ∙ → k ' ∙
auch pendelt, müssen wir zeigen, dass die drei Pfade zwischen der oberen linken und der unteren rechten Ecke gleich sind. Aber das ist offensichtlich, da k ' ∘ k ∘ G = k ' ∘ H ∘ F = k ' ∘ G ' ∘ F = H ' ∘ F ' ∘ F .

Die mühselige Operation besteht darin, neue Pfeile hinzuzufügen, da Kommutativität nicht ganz eine lokale Eigenschaft ist. Aber es ist möglich, das Leben ein wenig einfacher zu machen, indem wir beobachten, dass wir das Diagramm in Fragmente unterteilen, den Pfeil in jedem Fragment hinzufügen und die Kommutativität überprüfen und dann die Fragmente wieder zusammenfügen können.

Was die Existenz und Einzigartigkeit betrifft: Die einzigen Pfeile, deren Existenz garantiert ist, sind die, die durch das Zusammensetzen von Pfeilen erhalten werden. Alles andere erfordert spezifische Kenntnisse der betreffenden Objekte und Pfeile.

Ich denke, Diagrammjagd ist nichts anderes als die Verwendung von injektiven und surjektiven Homomorphismen und exakten Sequenzen. Wenn Sie diese gut lernen, können Sie diese in Diagrammen finden. Versuchen Sie, Diagramme in einfachere Diagramme, Morphismen oder zuvor bewiesene Lemmata zu reduzieren.

Um den Antworten nur einige Bücher hinzuzufügen: Simmons, Introduction to Category Theory , und Riehl, Category Theroy in Context . Diese Bücher haben spezielle Abschnitte über die „ Kunst der Diagrammjagd “ (Name des Abschnitts in Riehl). Insbesondere gibt es in Riehls nützliche Lemmata, die sehr helfen, zu denken, was passiert. Zum Beispiel die, die besagt, dass, wenn wir zwei Pfade zusammensetzbarer Sequenzen von Morphismen mit gemeinsamer Domäne und Kodomäne haben, die Pfade gleich sind, wenn die Kodomäne oder die Domäne jeweils Anfangs- oder Endobjekte sind.

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