Eine kategorische Herangehensweise an die Knotentheorie?

Um „X aus der Perspektive von Y zu studieren“, müssen Sie einen guten Grund haben zu glauben, dass die Sprache von Y effektiv ist, um X zu studieren. (Stellen Sie sich vor, Sie lesen eine Frage mit dem Titel „ein knotentheoretischer Ansatz zur Kategorientheorie“. Warum sollten Knoten helfen? verstehen wir Kategorien?) Ohne ein Argument, dass etwas fruchtbar ist, jagen wir Geister.

Letztendlich müssen Sie definieren, was eine Einbettung von Knoten ist, Sie müssen definieren, was eine Isotopie von Knoten ist, um über Knotengruppen zu sprechen, müssen Sie wissen, was ein Knotenkomplement ist, um über den Satz von Reidemeister zu sprechen, müssen Sie wissen, was Knotenprojektionen sind sind (und Reidemeisters Theorem selbst ist kaum eine reine Formsache, es erfordert tatsächlich darüber nachzudenken, wie PL-Isotope aussehen, wenn sie auf die Ebene projiziert werden). Um über die ausgefallenen Dinge zu sprechen, die Sie vielleicht begeistern, wie das Jones-Polynom oder die Khovanov-Homologie, müssen Sie wissen, was ein Kreuzungsdiagramm ist und was die Reidemeister-Bewegungen sind und die Beziehung der Knotenisotopie zu Kreuzungsdiagrammen modulo Reidemeister-Bewegungen. Und so weiter und so weiter.

Ich sehe keinen Grund, warum Modellkategorien oder Homotopietheorie einen einzigen Einblick in das Obige geben könnten.

Sicher, es gibt, sagen wir, eine simpliziale Menge, deren Ecken Einbettungen sind$S^1 \to S^3$und deren Kanten Isotope sind (und k-Zellen eingebettete Abschnitte der Projektion sind).$S^3 \times \Delta^k \to \Delta^k$). Das gibt Ihnen einen Raum von Knoten, was interessant ist, aber bei allem, was ich oben erwähnt habe, nicht hilfreich ist.

Es gibt beispielsweise auch eine Kategorie ('die Konkordanzkategorie'), deren Objekte Einbettungen sind$j: S^1 \to S^3$und deren Morphismen$\text{Hom}(i,j)$sind Einbettungen$H: [0,1] \times S^1 \to [0,1] \times S^3$so dass$H(t,z) = (t, i(z))$für$t \in [0, \epsilon)$während$H(t, z) = (t, j(z))$für$t \in (1-\epsilon, 1]$. Aber dies ist eine zusätzliche Sache, die Sie studieren / untersuchen können, indem Sie die 3-dimensionale Knotentheorie und die 4-dimensionale (Oberflächen-) Knotentheorie verbinden. Es hilft dir irgendwie nicht mit den Grundlagen.

Sie müssen sich die Hände schmutzig machen. Es gibt keine magischen kategorischen Ideen, die das verhindern.

Ein Teil der Knotentheorie, in dem die Kategorientheorie nützlich ist, ist die Untersuchung von Knoteninvarianten. Eine frühe Methode bestand darin, den Satz von Markov zu verwenden, dass jeder Knoten der Abschluss eines Geflechts ist. Indem Sie Darstellungen der Zopfgruppe finden, die eine "Spur" aufweisen, die bestimmte Eigenschaften erfüllt, können Sie Knoteninvarianten wie die Jones- und HOMFLY-Polynome erhalten. Die Geflechtgruppe ist schließlich die Gruppe invertierbarer Endomorphismen einer größeren Kategorie, der Tangle-Kategorie , und die Darstellungen verallgemeinern sich jeweils zu Funktoren von der Tangle-Kategorie zur Kategorie der Darstellungen einer quasidreieckigen Hopf-Algebra (z Quantengruppen, bestimmte Deformationen universeller Hüllalgebren von Lie-Algebren). Dies alles fällt unter die Überschrift „topologische Quantenfeldtheorie“ oder TQFT.

Knoten und Repräsentationstheorie sind eng miteinander verflochten. Hier ist ein Beispiel. In der klassischen Darstellungstheorie besteht ein Aspekt der Schur-Weyl-Dualität darin, dass jeder Endomorphismus von$V^{\otimes n}$das pendelt mit dem$SL(V)$Aktion kann als lineare Kombination von Permutationen geschrieben werden. Für$U_q(\mathfrak{sl}(2))$, die Quantendeformation von$\mathfrak{sl}(2)$, Permutationen werden durch lineare Kombinationen von Zöpfen ersetzt. (Die linearen Abbildungen von Permutationen und Zöpfen sind jedoch nicht injektiv.)

Die Khovanov-Homologie ist eine "Kategorisierung" des Jones-Polynoms. Polynome werden durch Module (insbesondere Kettenkomplexe) ersetzt, und bestimmte Arten von Abbildungen zwischen Knoten (Knotenkonkordanz) werden an Homomorphismen von Kettenkomplexen gesendet. Es gibt eine Arbeit von Lauda und Pfeiffer , die eine Konstruktion der Khovanov-Homologie für Tangles zu geben scheint, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies eine funktorielle Konstruktion im obigen Sinne ergibt (ich habe es nicht wirklich gelesen).

Ich kenne Leute, die mit wenig geometrischer Intuition an TQFTs arbeiten. Es fällt ihnen schwer, meine Diagramme zu verstehen, und es fällt mir schwer, ihren Manipulationen mit der Sweedler-Notation zu folgen. Vielleicht deutet dies darauf hin, dass diese Dinge nicht "wirklich" Knotentheorie sind, aber Knotentheorie ist ein großes Thema. Ich selbst würde das alles sehr schwierig finden, wenn ich nicht eine solide Grundlage in geometrischer Topologie und 3-Mannigfaltigkeiten hätte.

Weitere Bücher, die für Sie interessant sein könnten, sind die von Kauffman. Er arbeitet gerne mit Knoten als formalen kombinatorischen Objekten, was sich gut für eine kategorische Behandlung anbietet.