Kann man sich alle Gruppen als Symmetrien eines geometrischen Objekts vorstellen?

Ja. An jede Gruppe$G$(und Wahl des Stromerzeugers$S$) können Sie seinen Cayley-Graphen zuordnen, der für jedes Gruppenelement einen Scheitelpunkt hat$g$, und eine Kante zwischen den Scheitelpunkten entsprechend$g$Und$gs$für jede$s$In$S$. Die linke Aktion von$G$an sich entspricht starren Bewegungen des Graphen. Dieser Graph ist genau dann endlich, wenn$G$ist eine endliche Gruppe.

Wenn Sie etwas mehr über die Topologie wissen, ist eine Folge des Satzes von Van Kampen, dass jede Gruppe$G$ist die Fundamentalgruppe eines zweidimensionalen CW-Komplexes$X$, also insbesondere die Gruppe$G$wirkt durch Decktransformationen auf die Universalabdeckung$\tilde X$. Es stellt sich sogar heraus, dass jede endlich präsentierte Gruppe$G$ist die Fundamentalgruppe einer 4-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit. In gleicher Weise gaben Eilenberg und Mac Lane eine "funktionale" Konstruktion eines (typischerweise riesigen) geometrischen Objekts$BG$, ein Beispiel dafür, was sie a nennen$K(G,1)$– ein Raum, dessen Topologie gewissermaßen vollständig durch bestimmt ist$G$, seine grundlegende Gruppe. Dies erlaubt es, Methoden der algebraischen Topologie auch auf endliche Gruppen anzuwenden.

ETA: Die Darstellung unendlicher diskreter Gruppen als abstandserhaltende Transformationen geometrischer Objekte ist ein zentrales Anliegen der Geometrischen Gruppentheorie! Meiers Groups, Graphs and Trees oder Clay und Margalits Office Hours With a Geometric Group Theorist sind hervorragende Einführungen in dieses Gebiet.

Lassen$G$sei eine endliche Ordnungsgruppe$n>1$.

In$\Bbb R^n$mit Standardbasis$e_1,\ldots, e_n$, konstruieren wir ein geometrisches Objekt mit trivialer Symmetriegruppe: Let$X=\{\frac 1ke_k|1\le k\le n\}\cup \{0\}$. Dann$0\in X$ist der einzige Punkt mit Abstand$\le 1$zu allen anderen Punkten, muss also durch jede Symmetriebewegung fixiert bleiben. Danach,$\frac 1ke_k$ist der einzige Punkt darin$X$auf Distanz$\frac 1k$Zu$0$, muss also auch fest bleiben.

Durch die Betrachtung der Wirkung auf sich selbst durch linke Multiplikation, eine endliche Gruppe$G$der Ordnung$n$kann als Untergruppe von angesehen werden$\Bbb S_n$, und diese wirkt weiter$\Bbb R^n$durch Permutieren von Koordinaten, was eine orthogonale lineare Transformation ist, daher "geometrisch".

Der Punkt$p=(1,2,3,\ldots, n)$wird nur durch die Identität, also seine Umlaufbahn, fixiert$Gp$ist ein geometrisches Objekt, auf dem$G$handelt frei. Wir betrachten jedoch eher die Umlaufbahn$Y:=G(3p+X)$.

Lassen$\alpha$sei eine Symmetriebewegung von$Y$. Die Punkte$G\cdot 3p$zeichnen sich dadurch aus, dass sie haben$n$Punkte (nämlich "ihre" Kopie von$X$) in Entfernung$\le 1$; Dies liegt daran, dass jeder andere Punkt in$G\cdot 3p$unterscheidet sich in mindestens zwei Koordinaten um mindestens$3$, ist also in der Ferne$\ge 3\sqrt 2$und damit die verschiedenen Kopien von$X$sind gut genug getrennt. Daher finden wir$g\in G$mit$\alpha(3p)=g(3p)$. Dann$g^{-1}\circ \alpha$Blätter$3p$fest und muss auch die Kopie respektieren$X$zugehörig$3p$, muss also die Identität sein. Wir schließen daraus, dass die Symmetriegruppe von$Y$ist isomorph zu$G$.

Motivation für das Studium von Gruppen wird oft durch Symmetrien von Polytopen gegeben , z. B. regelmäßige Polygone, regelmäßige Polyeder und höherdimensionale Anlagogen. Und tatsächlich ist jede endliche Gruppe die Symmetriegruppe eines Polytops, von dem ich sagen würde, dass es so geometrisch wie möglich ist.

• Jede Gruppe ist die Symmetriegruppe eines Polytops (wie in dieser Antwort konstruiert ).

• Fast jede Gruppe ist die Symmetriegruppe eines eckentransitiven Polytops (Bahnpolytop).

  • Babai, Lászlo. "Symmetriegruppen eckentransitiver Polytope." Geometriae Dedicata 6.3 (1977): 331-337.
  • Friese, Erik, und Frieder Ladisch. "Affine Symmetrien von Bahnpolytopen." Fortschritte in der Mathematik 288 (2016): 386-425.9

• Ich erinnere mich auch gelesen zu haben, dass jede Gruppe die Symmetriegruppe eines Gitterpolytops ist, aber ich kann die Quelle gerade nicht finden.

Für mich ist eine allgemeine Idee hier, den Satz von Frucht aus der Graphentheorie zu betrachten : Jede Gruppe ist die Symmetriegruppe eines Graphen. Graphen sind nicht wirklich geometrische Objekte$-$sie sind kombinatorische Objekte. Es gibt jedoch Werkzeuge, um Polytope aus diesen Graphen zu konstruieren, die die Symmetrien des Graphen widerspiegeln (z. B. Eigenpolytope).

Dies wird besonders deutlich im Fall von knotentransitiven Graphen/Polytopen: Die Gruppen, die als Symmetriegruppen von knotentransitiven Graphen und als Symmetriegruppen von knotentransitiven Polytopen dargestellt werden können, sind genau die gleichen.