Wie ist RnRn\mathbb R^na Quotientengruppe von E(n)E(n)E(n) durch SO(n)SO(n)SO(n) für jedes nnn.

Ich stimme dem Kommentar zu, dass es wahrscheinlich sein sollte$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)$.$\operatorname{SO}(n)$ist nicht der Stabilisator von irgendeinem Punkt in$\mathbb R^n$, also können wir keine Bijektion zu finden$\mathbb R^n$über Gruppenaktionen. Es ist auch keine normale Untergruppe von$\operatorname{E}(n)$, also können wir das Problem auch nicht über Faktorgruppen behandeln. Aber die Situation sieht anders aus für$\operatorname{O}(n)$. Da haben wir zwei Ansätze.

Betrachten Sie zunächst den Homomorphismus

Wo$\mathbb R^n$ist die Additivgruppe. Der Kern ist eindeutig$\operatorname{O}(n)$, und es ist auch surjektiv, so besagt der erste Isomorphiesatz$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\cong\mathbb R^n$als Gruppen.

Zweite,$\operatorname{O}(n)$ist der Stabilisator des Ursprungs unter der Standard-Gruppenwirkung auf$\mathbb R^n$, und die Umlaufbahn des Ursprungs ist ganz$\mathbb R^n$, also haben wir eine natürliche Bijektion$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\to\mathbb R^n$.

Wie ich in meinem Kommentar sagte, denke ich, dass der genaue Satz lautet:

Der springende Punkt ist das$O_n$ist die Menge aller starren Bewegungen , die den Ursprung fixieren . Ich gehe davon aus, dass dies offensichtlich ist.

$E(n) / O_n$ist die Menge der Nebenklassen der Gruppe$O_n$In$E(n)$, nämlich die Elemente$eO_n$für$e \in E(n)$, mit der Operation$(e O_n)(fO_n) = (ef)O_n$. Damit diese Operation gut definiert ist, benötigen wir if$ef^{-1}\in O_n$, Dann$eO_n = fO_n$.

Also lass$e$sei eine starre Bewegung. Betrachten Sie die Transformation$e': x \to e(x) - e(0)$. Deutlich,$e'(0) = 0$. Seit$e'$eine Komposition starrer Bewegungen ist, ist es auch eine starre Bewegung. Durch die "offensichtliche Tatsache",$e'=e$dann und nur dann, wenn$e \in O_n$. Als Konsequenz,$eO_n = e(0)O_n$für jeden$e$(woher$e(0)$Hier meine ich die Übersetzung$x \to x + e(0)$). Die Gruppe solcher$e(0)$ist eindeutig$(\mathbb{R}^n, +)$.

Basierend auf dem, was Sie schreiben, denke ich, dass es ein Problem der Notation sein könnte. Du sagst das$\mathrm{SO}(n)$bezeichnet die Gruppe aller orthogonalen Transformationen. Die übliche Notation für die Gruppe der orthogonalen Transformationen ist$\mathrm{O}(n)$, während die Gruppe der orthogonalen Transformationen mit positiver Determinante mit bezeichnet ist$\mathrm{SO}(n)$(es ist die verbundene Komponente der Identität in$\mathrm{O}(n)$, seine Elemente werden manchmal als Eigendrehungen bezeichnet ) .

Du schreibst das, wenn wir Drehungen und Spiegelungen betrachten$\mathbb R^n$Sie bilden die Gruppe$\mathrm{O}(n)$, und wenn wir nur die Drehungen betrachten, dann erhalten wir$\mathrm{SO}(n)$. Eigentlich kann jede orthogonale Transformation als Produkt von Reflexionen ausgedrückt werden, siehe Satz von Cartan-Dieudonné .

Jetzt$E(n)$wirkt auf$\mathbb R^n$transitiv, und die Untergruppe, die den Ursprung festlegt, ist die orthogonale Gruppe$\mathrm{O}(n)$(Spiegelungen und Drehungen um den Ursprung, nicht-triviale Übersetzungen verschieben den Ursprung eindeutig woanders hin). Daher$\mathbb R^n$hat eine einzigartige glatte Struktur, die es diffeomorph macht$E(n)/\mathrm{O}(n)$, siehe hier .