Was kann ich über eine Kartenmultiplikation sagen?(2)

Ich habe diese Frage hier gestellt. Was kann ich zu einer Kartenmultiplikation sagen? , hier ist die Frage und ihre Antwort:

Die Frage:

Wenn ich folgendes wüsste:

Wenn ich den folgenden Homomorphismus habe$f: \mathbb Z_{p^a} \rightarrow \Bbb Z_{p^b}$definiert durch Multiplikation mit$n/d$Wo$n = p^b$Und$d = \gcd(p^a, p^b).$

Und ich weiß folgendes:

1. Wenn$a\geq b$Dann$f$ist dran.

2. Wenn$a \leq b$Dann$f$ist 1-1.

Wie kann ich diese Information verwenden, um etwas über diese Funktion zu schließen: Multiplikation mit$rn/d$für$r= p^s x$Und$0 \leq r < d$? Wann ist diese Karte 1-1 und wann ist sie eingeschaltet?

Könnte mir bitte jemand dabei helfen?

Seine Antwort:

Überlassen Sie uns die natürliche Verallgemeinerung des von Ihnen präsentierten Problems. In Betracht ziehen$m, n \in \mathbb{N}^{\times}$zusammen mit der Notation$\mathbb{Z}_r\colon=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$für alle$r \in \mathbb{Z}$. Lassen$d\colon=(m; n)$bezeichne den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen und berücksichtige auch$m'\colon=\frac{m}{d}, n'=\frac{n}{d}$(Die Brüche existieren seit$d \neq 0$).

Lassen Sie uns reparieren$k \in \mathbb{N}^{\times} \cap n'\mathbb{Z}$und lass$f \in \mathrm{End}_{\mathbf{Gr}}(\mathbb{Z})$sei der Endomorphismus der additiven Gruppe gegeben durch$f(r)=kr$für willkürlich$r \in \mathbb{Z}$. Es ist offensichtlich das$f[\mathbb{Z}]=f\left[\langle m \rangle\right]=\left\langle f(m)\right\rangle \leqslant n\mathbb{Z}$, seit$f(m)=mk \in mn'\mathbb{Z}=m'dn'\mathbb{Z}=m'n\mathbb{Z} \leqslant n\mathbb{Z}$, was bedeutet, dass$f$induziert einen Quotientenmorphismus$g \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Gr}}\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right)$, beschrieben von$g\left(\overline{r}\right)=\widehat{f(r)}=\widehat{kr}$, Wo$\overline{\bullet}$bezeichnet Klassen modulo$m$bzw.$\widehat{\bullet}$bezieht sich auf Klassen modulo$n$.

Aufgrund der allgemeinen Eigenschaften von Quotientenmorphismen haben wir$\mathrm{Ker}g=f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]/m\mathbb{Z}$. Das ist leicht zu sehen$f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}$, woher$\mathrm{Ker}g=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}_{\frac{m(k;n)}{n}} \ (\mathbf{Gr})$. Insbesondere,$g$ist injektiv genau dann, wenn$\frac{m(k; n)}{n}=1$, Beziehung äquivalent ausgedrückt als$m(k; n)=n \Leftrightarrow m \mid n \wedge (k; n)=\frac{n}{m}$.

Was das Bild betrifft, haben wir das$\mathrm{Im}g=\left(\mathrm{Im}f+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=\left(k\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=(k; n)\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z} \ (\mathbf{Gr})$. Deshalb,$g$ist genau dann surjektiv, wenn$(k; n)=1$, was zur Folge hat$n'=1$und somit$n \mid m$. Die Surjektivität von$g$wird also genau dann erreicht, wenn$n \mid m$Und$(k; n)=1$.

Hier nun meine Frage:

Ich habe einen Fall, der den erforderlichen Bedingungen für widerspricht$g$surjektiv sein Wenn wir nahmen$m=2^4, n = 2^3$Und$r = 2$dieser Fall wird nicht surjektiv sein. Liege ich in diesem Beispiel richtig oder nicht? könnte mir da jemand helfen?