Hat jede Gruppe ein Symmetrieobjekt?

Wenn das, was Sie als „geometrisches Objekt“ zulassen, weit genug gefasst ist, um mit den Arten von Gruppen übereinzustimmen, die Sie zulassen, ist die Antwort positiv. Ich beschränke mich zunächst auf den endlichen Fall, der nach Ihren Beispielen der Fall zu sein scheint, an dem Sie hauptsächlich interessiert sind, und bespreche dann den unendlichen Fall.

Für eine endliche Gruppe$G$Nach dem Satz von Frucht (verknüpft in einem Kommentar unter der ersten Antwort, mit der Sie verknüpft sind) ist jede Gruppe isomorph zur Automorphismusgruppe eines endlichen ungerichteten Graphen . Betten Sie die Grafik ein$(V,E)$In$\mathbb R^{|V|}$durch bijektives Abbilden der Scheitelpunkte auf die kanonischen Basisvektoren und der Kanten auf Liniensegmente zwischen den Scheitelpunkten, auf die sie einfallen. Die Isometriegruppe des resultierenden geometrischen Objekts ist isomorph zu$G$.

Die Isometrien eines euklidischen Raums sind lineare Transformationen , daher spezifiziert die Angabe der Bilder aller Basisvektoren unter einer Isometrie die Isometrie. Da ein Automorphismus des Graphen die Bilder aller Basisvektoren angibt, definiert er eindeutig eine Isometrie; das Objekt ist unter dieser Isometrie unveränderlich; und das Zusammensetzungsgesetz dieser Isometrien ist das Zusammensetzungsgesetz der Automorphismen. Umgekehrt entspricht jeder Isometrie des Objekts ein Automorphismus des Graphen. Daher ist die Gruppe der Isometrien isomorph zur Gruppe der Automorphismen, die isomorph zu ist$G$.

Dies funktioniert im unendlichen Fall nicht, da es Gruppen beliebig großer Kardinalität gibt (zB die freie Gruppe über einer Menge beliebig großer Kardinalität) und die euklidische Gruppe nur die Kardinalität des Kontinuums hat. Der Satz von Frucht wurde jedoch auf unendliche Gruppen und Graphen erweitert (siehe diesen Abschnitt des Wikipedia-Artikels mit Referenzen), wenn wir also „geometrische Objekte“ in beliebigen Potenzen von zulassen$\mathbb R$, können wir einen unendlichen Graphen einbetten$(E,V)$zu deren Automorphismengruppe isomorph ist$G$im Unterraum von$\mathbb R^V$mit endlich vielen Nicht-Null-Komponenten, indem die Scheitelpunkte wiederum auf kanonische Basisvektoren und die Kanten auf sie verbindende Liniensegmente abgebildet werden. Dann ist eine lineare Transformation wieder eindeutig bestimmt durch die Bilder aller Basisvektoren (hier brauchen wir die Beschränkung auf endlich viele Nicht-Null-Komponenten), und daraus folgt, dass die Gruppe der linearen Transformationen des resultierenden „geometrischen Objekts“ isomorph ist Zu$G$.

So wie ich es verstehe, sind die Objekte, nach denen Sie suchen, Teilmengen$S$von a$n$-dimensionaler euklidischer Raum, in dem Sie eine Karte betrachten$f: S \to S$eine Symmetrie von sein$S$wenn die Karte$f$behält Abstände und Winkel bei, dh ist eine starre Bewegung.

Jetzt ist Ihre Frage: für jede Gruppe$G$, gibt es ein solches Objekt$S$so dass$G$ist die Gruppe aller Symmetrien von$S$? Es ist auch etwas implizit in der Frage, die Sie annehmen$G$endlich sein.

Wir können es in zwei Fragen aufteilen:

1) Für alle$G$gibt es ein Objekt$S$so dass$G$erscheint als Untergruppe der Symmetrien von$S$?

2) Wenn die Antwort auf Frage 1 ja ist und wir ein solches Objekt betrachten, können wir verschiedene Farben darauf malen oder Smileys zeichnen oder Löcher schnitzen oder Griffe an dem Objekt anbringen, um einige der Symmetrien zu beseitigen und landen nur bei denen drin$G$?

Frage 2 ist recht interessant. Nehmen Sie zum Beispiel die Gruppe$A_5$aller Rotationssymmetrien des Dodekaeders. Offensichtlich handelt es sich um eine Untergruppe der Gruppe aller Symmetrien des Dodekaeders, die auch Spiegelungen enthält. Können wir den Dodekaeder so verstümmeln, dass nur Rotationssymmetrien übrig bleiben? Die Antwort ist ja, aber nicht sehr leicht zu finden (obwohl ich sicher bin, dass Wikipedia ein Bild hat).

Allerdings werde ich hier nur etwas zu Frage 1 sagen. Wir bemerken ein paar Dinge:

Wenn Sie sich Beispiele für symmetrische Objekte (Würfel, Kugeln usw.) vorstellen, stellen Sie fest, dass sie oft eine Art Mittelpunkt haben, der durch alle Symmetrien erhalten bleibt. Wir machen einen mutigen Schritt nach vorne und grenzen die Frage ein auf:

1': Für jede endliche Gruppe$G$, gibt es ein Objekt$S$ein Punkt$O$im euklidischen Raum wo$S$lebt so, dass jede Symmetrie von$S$Blätter$O$vorhanden und so$G$ist eine Untergruppe der Gruppe aller Symmetrien von$S$?

Gehen wir zunächst einmal von der anderen Seite an die Situation heran und stellen uns vor, wir hätten ein solches Objekt$S$innen sitzen ein$n$-dimensionaler euklidischer Raum, der auch einen Punkt enthält$O$mit der besonderen Eigenschaft, dass jede Symmetrie von$S$Blätter$O$an seinem Platz.

Der Grund für die Einführung des Punktes$O$ist, dass wir etwas lineare Algebra einbringen können. Angesichts des "besonderen" Punktes$O$wir können uns den umgebenden euklidischen Raum als den Raum vorstellen$\mathbb{R}^n$Wo$O$ist der Ursprung. Begriffe wie „Spanne“ machen plötzlich Sinn, also beschränken wir unsere Aufmerksamkeit auf den Unterraum von$\mathbb{R}^n$überspannt von$S$. Da wir nicht gesagt haben, was$n$Wir können davon ausgehen, dass dieser Unterraum alles ist$\mathbb{R}^n$.

Der springende Punkt ist nun, dass jede Symmetrie von$S$erstreckt sich auf eine Karte von allen$\mathbb{R}^n$zu sich selbst, und da die Symmetrie Winkel und Abstände bewahrt, sagt uns das Parallelogrammgesetz, dass diese Abbildungen linear sind !

Umgekehrt erinnerst du dich vielleicht aus der linearen Algebra daran, dass du ein inneres Produkt haben musst, um über Entfernungen und Winkel sprechen zu können$\langle . , . \rangle$auf Ihrem Vektorraum. Die Bedingung der Erhaltung von Winkeln und Abständen besagt dann, dass es sich um eine Symmetrie handelt$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ist nicht nur linear, sondern erfüllt auch$\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$für alle Vektoren$x, y$; mit anderen Worten, es bleibt das Skalarprodukt erhalten oder es handelt sich um eine orthogonale lineare Transformation .

Daher können wir Frage 1 in lineareren algebraischen Begriffen umformulieren:

1'': für jede Gruppe$G$gibt es eine nummer$n$und eine Gruppe orthogonaler linearer Transformationen von$\mathbb{R}^n$das ist isomorph zu$G$?

Die Antwort ist ja . Ein einfacher Weg ist das Einbetten$G$hinein$S_n$und dann lassen$S_n$handeln$\mathbb{R}^n$durch Permutieren der Basisvektoren.

Jetzt haben wir es begriffen$G$als Untergruppe der Symmetrien aller$\mathbb{R}^n$, möchten wir die Dinge verschönern, indem wir sie als Untergruppe der Gruppe von Symmetrien einer kleineren Teilmenge realisieren$S$von$\mathbb{R}^n$. Dies kann wie folgt erfolgen. Nehmen Sie einen allgemeinen Punkt$x$. Betrachten Sie den Satz von$|G|$Punkte$g_1(x), g_2(x), ...$Wo$g_1, g_2, ...$sind die Elemente von$G$, realisiert als lineare Transformationen.

Sie erhalten am Ende eine schön symmetrische Menge von Punkten. Nehmen Sie schließlich die konvexe Hülle, um ein greifbareres festes Objekt zu erhalten$S$.

Hier eine Übung:

Lassen$G$sei eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe$\mathfrak{S}_X$von Permutationen einer endlichen Menge$X$. Zeigen Sie, dass es existiert$k$und eine Beziehung$R\subset X^k$so dass$G$gleich der Automorphismengruppe von ist$(X,R)$.

Wo$\mathrm{Aut}(X,R)$ist definitionsgemäß$\{g\in \mathfrak{S}_X:\;gR=R\}$, die Gruppe$\mathfrak{S}_X$Einwirken auf$X^k$von$g(x_1,\dots x_k)=(gx_1,\dots,gx_k)$.

Daher jede Gruppe als Gruppe von Permutationen einer gegebenen endlichen Menge$X$kann eine Symmetriegruppe von irgendeiner "relationalen" Struktur an gesehen werden$X$ selbst .

Ein Hinweis zur Übung: Man kann wählen$k=|X|$. Erfordern$k=1$ist sehr restriktiv (man bekommt nur Stabilisatoren von Teilmengen), und sogar$k=2$(Erkennen$G$als Stabilisator irgendeiner gerichteten Graphenstruktur auf$X$) ist sicherlich zu restriktiv, obwohl mir im Moment kein Beispiel einfällt.