Warum ist Konjugation als Äquivalenzrelation speziell in Gruppen?

Nehmen wir eine Gruppe von Drehungen eines Würfels.

Es gibt 24 Elemente in dieser Gruppe, werfen wir einen Blick auf diese beiden:

• A: Würfel um 90 Grad im Uhrzeigersinn um die x-Achse drehen
• B: Würfel um 90 Grad im Uhrzeigersinn um die Z-Achse drehen

Diese beiden Elemente sind offensichtlich unterschiedlich, aber sie sehen etwas ähnlich aus. Eine Person, die unseren Würfel aus einer anderen Richtung betrachtet, kann durch diese Beschreibungen sogar verwirrt werden. Aber zum Beispiel Element "C: Würfel um 120 Grad um diese Diagonale drehen" unterscheidet sich sehr von A und von B.

Die Elemente A und B sind konjugiert - das heißt$A = x * B * x^{-1}$, und diese Konjugationsoperation ist eigentlich "werfen wir einen Blick auf unsere Gruppe aus einer anderen Richtung,$x$definiert dies eine andere Richtung".

Wenn wir zwei Personen haben, die unseren Würfel aus verschiedenen Richtungen betrachten, dann kann es passieren, dass die erste Person unsere Beschreibung von Element A übernimmt, die zweite Person unsere Beschreibung von Element B, aber sie würden der gleichen tatsächlichen Drehung des Würfels entsprechen.

Konjugierte Elemente sind etwas ununterscheidbar, deshalb besteht zwischen ihnen eine Äquivalenzbeziehung.

AKTUALISIEREN :

Eigentlich ist es eine Antwort auf eine Frage aus einem Kommentar darüber, wie$x$und "aus einer anderen Richtung schauen" verwandt sind.

Kommen wir zurück zum Beispiel mit Würfeldrehungen. Stellen Sie sich vor, Sie sitzen am Tisch, der Würfel liegt vor Ihnen. Dein Freund sitzt am gleichen Tisch, schaut von rechts auf den gleichen Würfel. Die für Sie "richtige" Seite des Würfels ist also für ihn "vorne".

Er beschreibt eine der Drehungen des Würfels: "A: Drehe den Würfel um 90 Grad im Uhrzeigersinn um die Achse, die von der linken Seite zur rechten Seite geht".

Sie möchten herausfinden, wie diese Drehung in Ihrem Bezugsrahmen beschrieben wird. Eine Möglichkeit für Sie, dies zu tun, wäre:

1. Bewegen Sie sich nach rechts zu dem Platz, den Ihr Freund besetzt hat
2. Führen Sie die Drehung A wie beschrieben durch
3. Gehen Sie zurück zu Ihrem ursprünglichen Sitzplatz
4. Betrachten Sie die aktuelle Ausrichtung des Würfels und beschreiben Sie die Drehung, die den Würfel vom ursprünglichen in den aktuellen Zustand bewegt.

Aber anstatt sich um den Würfel zu bewegen, können Sie den Würfel bewegen! Die Schritte wären also:

1. Würfel um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn um vertikale Achsen drehen
2. Führen Sie die Drehung A wie beschrieben durch
3. Würfel um 90 Grad im Uhrzeigersinn um vertikale Achsen drehen

In Ihrem Bezugsrahmen ist die Drehung also ein Produkt dieser drei Drehungen:

(erinnere dich daran$x * A * x^{-1}$entspricht (Schritt 3) * (Schritt 2) * (Schritt 1) ​​)

Also,

Wo

ist das Zentrum von$G$Und${\rm Inn}(G)$ist die Gruppe der inneren Automorphismen von$G$; das heißt für alle$g\in G$,$c_g\in{\rm Inn}(G)$iff$c_g: G\to G$so dass$c_g(h)=ghg^{-1}$für alle$h\in G$. Es gibt keine anderen inneren Automorphismen.

Die Bedeutung der Gruppenkonjugation ergibt sich aus dem Folgenden.

Konjugation ist ein Automorphismus einer Gruppe. In vielen Bereichen der Mathematik sind Automorphismen von großer Bedeutung, da sie im Wesentlichen die Symmetrien der zugrunde liegenden Struktur sind. Unter allen Automorphismen einer Gruppe sind die Konjugationen seit ihrer Beschreibung besonders$c_g(x) = gxg^{-1}$funktioniert in allen Gruppen einheitlich und erfordert nur grundlegendes Gruppenrechnen. In diesem Sinne:

1. Konjugationen sind die „offensichtlichen“ oder die „ natürlichen Symmetrien “ einer Gruppe.

NACHTRAG

Andere Antworten weisen auf die Rolle der Konjugation bei Gruppenaktionen hin. Zusammenfassend lässt sich sagen:

2. Konjugation ist die Formel für den „ Basiswechsel “ in allgemeinen Gruppenaktionen.

Obwohl diese Interpretation sicherlich wichtig ist, denke ich, dass der Hauptgrund für die Bedeutung der Konjugation № 1 ist. Weil sie für allgemeine Gruppen funktioniert, ohne dass eine zusätzliche Struktur eingeführt werden muss (wie die Gruppe, die auf einem Set agiert). .

1. In der Gruppentheorie ist Gruppenaktion ein sehr wichtiges Werkzeug.

Die Gruppe, die auf sich selbst handelt, ist eine Art wichtiger Gruppenaktion.

Die Gruppe, die durch Linksmultiplikation auf sich selbst wirkt, gibt uns eine Möglichkeit, den berühmten und wichtigsten Satz der Gruppentheorie, den Satz von Cayley (Jede Gruppe$G$kann in eine Permutationsgruppe eingebettet werden$A(S)$für eine angemessene$S$)

Eine weitere wichtige Aktionsgruppe, die durch Konjugation auf sich selbst wirkt.

$\phi:G×G\to G$von

$\phi(g, s) =gsg^{-1}$

Dann,$orbit(s) =O(s)=\{g\cdot s : g\in G \}$

Definiere eine Beziehung$\sim$An$G$,

$s_1 \sim s_2$Wenn$s_1 =gs_2 g^{-1}$für einige$g\in G$

Dann,$\sim$eine Äquivalenzrelation ist, heißt Konjugationsrelation.

Und,$[s]=O(s)=$= Konjugationsklasse von$s$

Es ist wichtig, die Klassengleichung und den Satz von Sylow zu beweisen, ein wichtiges Werkzeug zur Analyse von Gruppen endlicher Ordnung.

2. Die Bedeutung jeder Äquivalenzbeziehung besteht darin, dass sie die Menge in disjunkte Äquivalenzklassen unterteilt.

3. $\phi:G\to G$definiert von

$\phi_g(s) =gsg^{-1}$ist ein innerer Automorphismus.

Und wenn$H\le G$Und$H$ist stabil unter Konjugation dh$\phi(H) =H$, dann das$H$ist eine wichtige Art von Untergruppe von$G$, Normalteiler genannt.