Tychonoff Theorem Motivation

Was Tychonoff zu seinem Produktsatz führte, scheint vor allem die Frage gewesen zu sein, welche (Hausdorff-)Räume schöne Kompaktifizierungen zulassen.

Diese Frage steht im Mittelpunkt seines 1930 erschienenen Aufsatzes Über die topologische Erweiterung von Räumen , in dem eine Teilantwort geliefert wurde. Der Hauptsatz des Papiers lautet grob wie folgt.

Für jeden Kardinal$\tau$es gibt einen kompakten Hausorff-Raum$R_\tau$Gewicht$\tau$mit der Eigenschaft, dass jeder normale Raum von Gewicht ist$\leq\tau$bettet sich ein$R_\tau$. Wenn$\tau=\aleph_0$, der Raum$R_{\aleph_0}$ist homöomorph zum Hilbert-Würfel.

Er weist darauf hin, dass dies unter anderem einen Spezialfall des Metrisierungssatzes von Urysohn impliziert.

Der Punkt ist natürlich, dass der kompakte Raum$R_\tau$ist ein$\tau$-gewichtetes Produkt von Einheitsintervallen, und der harte Teil des Papiers erscheint in$\S2$, wo Tychonoff beweist, dass dieses Produkt tatsächlich kompakt ist. Dies wäre der allererste und ziemlich spezielle Fall dessen, was später als Tychonoff-Produktsatz bezeichnet wird.

Es ist amüsant, dass das Ergebnis hier für die Arbeit von so untergeordneter Bedeutung ist, dass ich nicht einmal ein Lemma oder eine Propositionsaussage finden kann, um es hervorzuheben. Auch das Auswahlaxiom wird trotz der Begeisterung anderer Kommentatoren hier nicht erwähnt .

Etwas anderes, das mir seltsam erscheint, ist, dass Tychonoff sieben Jahre vor der Veröffentlichung von entweder Stones oder Čechs Papieren Kompaktifizierungen vom Typ Stone-Čech zu konstruieren scheint. Tatsächlich ist es diese Arbeit von 1930, in der Tychonoff den Begriff eines vollständig regelmäßigen Raums einführte , und sein zweites Hauptergebnis ist das

Ein Raum bettet sich genau dann als Unterraum in einen kompakten Hausdorff-Raum ein, wenn er vollständig regulär ist.

All dies scheint also die Motivation hinter Tychonoffs Produktsatz gewesen zu sein.

Die Geschichte von hier ist mir nicht so erfolgreich auf die Spur gekommen. Laut Wikipedia wies Tychonoff in einem Aufsatz von 1935 darauf hin, dass die in Über die topologische Erweiterung von Räumen gegebene Konstruktion zeigt, dass beliebige Produkte kompakter Räume kompakt sind. Das wäre natürlich sein berühmtes Ergebnis. Ich konnte das betreffende Papier nicht finden und möchte daher keinen Kommentar abgeben.

Seien Sie jedoch versichert, dass schließlich ein Beweis für den Satz von Tychonoff herausgekommen ist. Tatsächlich in der 1937 erschienenen Arbeit On Bicompact Spaces von Eduard Čech. Es befindet sich auf Seite 830 in der Zeile ab The Cartesian product... . Hier wird es von Čech verwendet, um Verdichtungen von völlig regelmäßigen Räumen zu konstruieren, und Tychonoff ist entsprechend akkreditiert.

Es scheint wirklich, dass die mathematische Gemeinschaft die Bedeutung des Satzes des Tychonoff-Produkts erst lange erkannt hat, nachdem er in das Fach aufgenommen worden war.

Hmm, nun, ich habe interessante Erinnerungen an das Tychonoff-Theorem, das auf die Zeit zurückgeht, als ich Spaniers Punktmengentopologie und Einführung in Funktionen einer reellen Variablen in Berkeley nahm. Er sagte, er wisse, dass ich den Beweis nicht richtig hinbekommen habe, weil ich das Auswahlaxiom nicht verwendet habe.

Aber ich kann Ihnen sagen, dass der Satz von Tychonoff zusammen mit der Metrisierung von Urysohn einer der beiden ersten Sätze in der allgemeinen Topologie ist. Sie besagt, wie Sie wissen, dass das Produkt kompakter Räume kompakt ist. Dies unterscheidet die Produkttopologie von der Kastentopologie, da der Satz in letzterer nicht zutreffen würde.

Munkres ist eine gute Referenz. Und da ist Kelley.