Modelltheorie und Topologieverbindungen

Sie können beginnen, indem Sie Alan Dows Artikel lesen:

Dow, A. Eine Einführung in Anwendungen elementarer Teilmodelle in der Topologie. Topologie-Proz. 13 (1988), Nr. 1, 17–72. MR1031969

Da Sie die O-Minimalität erwähnen, dachte ich, ich sollte diesen Bereich der Modelltheorie erwähnen, der eng mit (Verallgemeinerungen von?) Semi-Algebraischer Geometrie und Real-Algebraischer Geometrie verwandt ist. Insbesondere Techniken der o-Minimalität wurden verwendet, um einige Fortschritte bei der Lösung der Andre-Oort-Vermutung zu erzielen, ich beziehe mich auf den Artikel von Jonathon Pila mit dem Titel "O-Minimalität und die Andre-Oort-Vermutung für$\mathbb{C}^n$". Als Einführungsartikel zu diesem Thema schlage ich einen Artikel von Thomas Scanlon mit dem Titel "O-Minimalität als Ansatz zur Andre-Oort-Vermutung" vor, der auf der akademischen Webseite von Scanlon zu finden ist.

Ich möchte noch einen weiteren Bereich der Modelltheorie mit Verbindung zur Analysis erwähnen. Sie wird Modelltheorie metrischer Strukturen genannt. In dieser Modelltheorie ändert man die besondere Logik, die man verwendet, und die Definition von Struktur. Strukturen in dieser Theorie sind jetzt vollständige metrische Räume, Konnektoren sind gleichmäßig stetige reellwertige Funktionen usw. Eine Einführung finden Sie online (legal) kostenlos. Ich habe die Autoren vergessen, suche aber einfach nach "Modelltheorie für metrische Strukturen".

Schließlich gibt es noch eine sogenannte topologische Modelltheorie, die zuerst von Anand Pillay vorgeschlagen wurde (glaube ich). Es gibt Vorlesungsunterlagen von Ziegler mit dem Titel "Topological Model Theory", die bei Springer erschienen sind. Ich bin sicher, dass Sie dies in Ihrer Universitätsbibliothek finden können.

Spaß haben

Die offensichtlichsten Beispiele ergeben sich aus der Betrachtung des Stone-Raums vollständiger Typen gegenüber einer vollständigen Theorie. Zum Beispiel:

1. Die Kompaktheit des Steinraums ist eng mit der Kompaktheit der Logik erster Ordnung verbunden.
2. Jede Teilmenge des Stone-Raums kann gleichzeitig weggelassen werden, wenn sie mager ist (und der mir bekannte Beweis selbst der einfachsten Version des Satzes zum Weglassen von Typen verwendet den Baire-Kategoriensatz).
3. Formeln und definierbare Mengen entsprechen genau geschlossenen Teilmengen des Steinraums.
4. Der Morley-Rang einer Formel entspricht dem Cantor-Bendixson-Rang der durch sie definierten Clopen-Menge (innerhalb eines Steinraums über einem$\aleph_0$-gesättigte Struktur), ebenso die Multiplizität.
5. Typdefinierbare Mengen sind abgeschlossene Teilmengen des Steinraums (obwohl ich mir im Moment nicht sicher bin, ob das Gegenteil zutrifft).

Für eine andere, geometrischere Art von Beispielen:

1. Die Automorphismusgruppe jedes Modells hat eine natürliche Struktur einer topologischen Gruppe (mit offenen Mengen, die durch Festlegen der Bilder und Urbilder endlicher Tupel definiert sind).
2. Für zählbare Modelle ist die Gruppe tatsächlich polnisch.
3. Für gesättigte zählbare Modelle ist sie isomorph zur Baire-Gruppe$\omega^\omega$.

Für verschiedene, aber doch artgerechte Beispiele verallgemeinert sich die Theorie der algebraischen Gruppen meines Wissens auf definierbare Gruppen (von endlichem Morley-Rang, denke ich) in geeigneten Theorien (aber ich weiß so gut wie nichts darüber, also werde ich nicht näher darauf eingehen). .

Eine andere Art der Verwendung von Topologie kommt von einigen bestimmten Theorien, die sich auf bestimmte topologische Räume beziehen. Wenn wir zum Beispiel etwas über reelle abgeschlossene Körper zeigen wollen, brauchen wir oft nur in den reellen Zahlen zu arbeiten, und wenn wir etwas über algebraisch abgeschlossene Eigenschaftskörper zeigen wollen$0$, brauchen wir nur mit den komplexen Zahlen zu arbeiten. Beide haben ihre natürliche Topologie und können manchmal verwendet werden, um einige Tatsachen (erster Ordnung) zu zeigen, die sonst schwer zu beweisen wären.