Ich schreibe eine Diplomarbeit im Kontext der deskriptiven Komplexität in der Theoretischen Informatik und muss mich daher ein wenig mit Graphentheorie beschäftigen. Mein Hintergrund ist nicht Mathematik, sondern Informatik mit einem starken Interesse an Mathematik (was bedeutet, dass ich keine fortgeschrittenen Vorlesungen gehört habe, aber mich wohlfühle, mehr zu lernen). Der Schwerpunkt liegt hier auf dem theoretischen Hintergrund planarer Graphen. Mein Ausgangspunkt ist das Kapitel über planare Graphen in Diestel 2005 .
Eine Fläche ist ein kompakter zusammenhängender topologischer Hausdorf-Raum in der jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zur euklidischen Ebene ist . Ein Bogen, ein Kreis und eine Scheibe drin sind Teilmengen, die in der Unterraumtopologie zum reellen Intervall homöomorph sind , zum Einheitskreis , und auf die Einheitsscheibe , bzw.
Diese Definitionen werden später verwendet, um planare Graphen, ebene Graphen, zu definieren. Andere Konzepte wie topologische Isomorphismen werden ebenfalls verwendet.
Ich habe alle Definitionen auf Wikipedia gefunden und weiß, was sie sagen . Leider habe ich keine Ahnung, was sie bedeuten. Zum Beispiel schätze ich, dass ein Bogen eine kontinuierliche Kurve ist, die sich nicht damit schneidet. Meine Frage ist nicht, was die Definitionen bedeuten, sondern was ist ein guter Ausgangspunkt, um Topologie aus Informatikperspektive (mit wenig Hintergrundwissen) im Kontext der Graphentheorie zu lernen, und wie viel wird wirklich benötigt? Ist es möglich, diese Topologie-Dinge als Black Boxes zu betrachten, oder ist es wichtig, sie zu verstehen?
Es scheint, als würden Sie sich auf die topologische Graphentheorie einlassen, die hauptsächlich das Einbetten von Graphen in Oberflächen betrifft. Die Untersuchung planarer Graphen ist ein Spezialfall davon, wo die Graphen in die Ebene eingebettet werden. So könnten Sie beispielsweise in der topologischen Graphentheorie auch Graphen untersuchen, die verbindungslos in einen Torus eingebettet werden könnten.
Ich bin keineswegs ein Experte auf diesem Gebiet, aber ich wette, wenn Sie Topology of Surfaces aufgreifen (was für ein Topologiebuch ziemlich sanft ist), könnten Sie die topologische Seite der Dinge gut genug in den Griff bekommen, um zurückzukehren nach Diestel und dort weitermachen, wo Sie aufgehört haben.
Ich fand Jeff Ericksons Notizen zur Computational Topology sehr nützlich, als ich mit ähnlichen Anforderungen anfing, etwas über Topologie aus der Perspektive der Informatik zu lernen .
Wenn Sie wirklich eine gute Vorstellung davon haben, was ein Homöomorphismus ist, können Sie die meisten dieser Definitionen ziemlich leicht verstehen. Ein Homöomorphismus ist das Äquivalent eines Isomorphismus für topologische Räume: wenn zwei Räume Und homöomorph sind, dann sehen sie im Wesentlichen "gleich" aus. Zum Beispiel jedes geschlossene Intervall ist homöomorph zum Einheitsintervall , und ein geschlossenes Quadrat beliebiger Größe in ist homöomorph zur Einheitsscheibe. Homöomorphismen erinnern sich an wesentliche Eigenschaften von Räumen, wie „Löcher“ und „Dimension“, vergessen aber Dinge wie, ob ein Raum „Ecken“ hat oder nicht (im Allgemeinen wird die tatsächliche „Form“ vom Homöomorphismus nicht erinnert).
Wenn Sie also an die letzten paar Definitionen denken, die Sie geben, können Sie sich Bögen, Scheiben und Kreise als Einbettungen des Einheitsintervalls, der Einheitsscheibe und des Einheitskreises in andere höherdimensionale euklidische Räume vorstellen, wodurch die Objekte gedehnt und verdreht werden können und verformt, ohne die Struktur der ursprünglichen Räume zu zerreißen oder auf andere Weise wesentlich zu verändern (vermutlich arbeiten Sie in euklidischen Räumen, aber wenn nicht, gilt die gleiche Idee).
Was Oberflächen betrifft, möchten Sie vielleicht einige Beispiele im Hinterkopf behalten. Kugeln, Ellipsoide und Würfel (ohne den Innenraum) sind alle Oberflächen nach dieser Definition. Eine Oberfläche (zumindest in wird eine geschlossene, begrenzte sein (dies ist äquivalent zu compact in ) Objekt, das "zweidimensional" ist, was bedeutet, dass es im Grunde so aussieht, wenn Sie einen Punkt auswählen und hineinzoomen (aka, jeder Punkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu ist ).
In nicht-euklidischen Räumen können die Dinge etwas seltsamer werden, aber wenn Sie die Beispiele im Hinterkopf behalten und Ihre Definitionen im Auge behalten, können Sie nichts falsch machen. Viel Glück!
Joachim