Automorphismusgruppe des direkten Produkts von Gruppen

Idealerweise ein Automorphismus$\phi$von$H\times H$würde aussehen wie$(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{smallmatrix})$, mit

$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_2) \\ \gamma(h_1)\delta(h_2) \end{pmatrix} \tag{$\circ$}$$

für einige Funktionen$\alpha,\beta,\gamma,\delta:H\to H$(wir interpretieren Elemente von$H^2$als Spaltenvektoren). Dies trägt den Geist von${\rm Aut}(\Bbb Z/p\Bbb Z\times\Bbb Z/p\Bbb Z)\cong{\rm GL}_2(\Bbb Z/p\Bbb Z)$. Wenn wir die Domain oder Codomain auf die Untergruppen beschränken$H\times 1$oder$1\times H$wir sehen das$\alpha,\beta,\gamma,\delta$alle müssen Endomorphismen sein.

In der Tat sehen wir das, indem wir die Domäne einschränken und die Codomain projizieren$\alpha,\beta,\gamma,\delta$können direkt aus ermittelt werden$\phi$. Damit die Matrix ein Automorphismus ist, müssen wir haben

$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1h_2 \\ h_3h_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_2 \\ h_4 \end{pmatrix}$$

was wird

$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1h_2)\beta(h_3h_4) \\ \gamma(h_1h_2)\delta(h_3h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}$$

was wird

$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1)\alpha(h_2)\beta(h_3)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\gamma(h_2)\delta(h_3)\delta(h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3)\alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3)\gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}.$$

Erträge stornieren$\alpha(h_2)\beta(h_3)=\beta(h_3)\alpha(h_2)$Und$\gamma(h_2)\delta(h_3)=\delta(h_3)\gamma(h_2)$für alle$h_2,h_3\in H$, was gleichbedeutend ist mit$[\alpha(H),\beta(H)]=[\gamma(H),\delta(H)]=1$. In der Tat garantieren diese letzteren Bedingungen dies$\phi$ist tatsächlich durch diese Matrix gegeben. Man prüft, ob diese Bedingungen da sind$\alpha(H)$Und$\beta(H)$sind die Bilder$\phi(H\times1)$Und$\phi(1\times H)$, und das wissen wir$[H\times 1,1\times H]=1\times 1$was sich seitdem fortsetzt$\phi$ist ein Automorphismus (eine ähnliche Logik gilt für$\gamma,\delta$). Da gelten die Bedingungen für die ermittelten mutmaßlichen Matrixeinträge$\phi$, wir fassen zusammen$\phi$ist tatsächlich durch diese Matrix gegeben.

Nun nehme an$H$ist einfach nichtabelsch.

Seit$\alpha(H)\beta(H)=H$Und$[\alpha(H),\beta(H)]=1$, beide$\alpha(H)$Und$\beta(H)$sind normal drin$H$, und so$\alpha(H)$,$\beta(H)$sind beide entweder trivial oder$H$. Es ist nicht möglich, dass beides trivial ist$(h_1,h_2)\mapsto\alpha(h_1)\beta(h_2)$ist surjektiv, noch können beide sein$H$seit$[\alpha(H),\beta(H)]=1$. Daher einer von$\alpha,\beta$ist ein Automorphismus und der andere ist der triviale Endomorphismus (den ich bezeichnen werde$0$). Gleiches gilt für$\gamma,\delta$nach der gleichen Logik. Die Matrix kann nicht sein$(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$oder$(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$Da diese Funktionen jedoch nicht vorhanden sind$1$-$1$.

Zusammenfassend ist jeder Automorphismus von$H^2$sieht aus wie$(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$oder$(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$für Automorphismen$\alpha,\beta$.

Bevor ich fortfahre, möchte ich kostenlose Produkte, halbdirekte Produkte und Kranzprodukte besprechen. Der beste Weg, um das kostenlose Produkt intuitiv zu verstehen$A*B$von zwei Gruppen$A$Und$B$ist die Menge aller Wörter , die aus Buchstaben der zugrunde liegenden Mengen gebildet werden$A$Und$B$, mit dem Verständnis, dass das Verketten von Elementen aus$A$(oder ab$B$) zusammen vereinfacht gemäß der ursprünglichen binären Operation von in$A$(oder von in$B$). Wenn eine Gruppe$B$wirkt auf eine Gruppe$A$durch Automorphismen, dann das mit bezeichnete semidirekte Produkt$A\rtimes B$ist das kostenlose Produkt$A*B$modulo die Beziehungen$b(a)=bab^{-1}$(also konjugieren$a$von$b$im semidirekten Produkt beträgt die Anwendung$b$als Automorphismus zu$a$). Da jedes Element des semidirekten Produkts so aussieht$ab$für einige$a\in A,b\in B$Einzigartigerweise wird das semidirekte Produkt manchmal aus der Menge konstruiert$A\times B$indem du aufschreibst, was passiert.

Wenn eine Gruppe$B$wirkt durch Permutationen auf$\{1,\cdots,n\}$dann gibt es eine induzierte Aktion von$B$durch Automorphismen auf$A^n$: Koordinaten eines beliebigen Vektors einfach permutieren. Bildung des resultierenden halbdirekten Produkts$A^n\rtimes B$ergibt das Kranzprodukt, bezeichnet$A\wr B$. Betrachten Sie insbesondere$H\wr C_2$(wobei das nichttriviale Element von$C_2$ist der nichttriviale Austausch der beiden Koordinaten). Jedes Element sieht so aus$(h_1,h_2)$oder$(h_1,h_2)\sigma$mit nichttrivialer Multiplikationsregel$(h_1,h_2)\sigma(h_3,h_4)\sigma=(h_1h_4,h_2h_3)$(seit$\sigma=\sigma^{-1}$, konjugiert dies im Wesentlichen$(h_3,h_4)$von$\sigma$, die die Koordinaten vertauscht, und dann multiplizieren wir$(h_1,h_2)(h_4,h_3)$).

Ich überlasse es Ihnen, das zu überprüfen

$$\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta\end{pmatrix}\mapsto (\alpha,\beta) \qquad \begin{pmatrix}0 & {\rm id}_H \\ {\rm id}_H & 0\end{pmatrix}\mapsto (e,e)\sigma$$

definiert einen Isomorphismus${\rm Aut}(H^2)\cong {\rm Aut}(H)\wr C_2$.

Weitere Informationen finden Sie unter Automorphismen direkter Produkte der endlichen Gruppen I und II . Der erste Artikel diskutiert einen Satz mit mehr "senkrechten" Gruppen$H$Und$K$angenommen:

Satz . Wenn$H$Und$K$haben dann keinen gemeinsamen direkten Faktor

$${\rm Aut}(H\times K)\quad \cong\quad \left\{\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} :~ \begin{matrix}\alpha\in{\rm Aut}(H) & \beta\in\hom(K,Z(H)) \\ \gamma\in\hom(H,Z(K)) & \delta\in{\rm Aut}(K)\end{matrix}\right\}.$$