Bitte sagen Sie mir, was der Autor sagen möchte. ("Topics in Algebra 2nd Edition" von I N. Herstein)

Ich hasse Beschreibungen einer Gruppe wie die in Herstein, weil es für einen Neuankömmling überhaupt nicht offensichtlich ist, dass es nicht irgendeinen geheimen Zusammenbruch von allem in das Identitätselement geben könnte. Woher wissen Sie, dass Sie einfach "erklären" können, wenn zwei Dinge gleich sind, ohne irgendwo eine Art Inkonsistenz zu erzeugen?

Was Herstein beabsichtigt, sieht so aus, als würde man eine Gruppe durch Generatoren und Relationen beschreiben, aber normalerweise kann man aus einer solchen Beschreibung allein höchstens eine Obergrenze für die Größe der Gruppe bekommen, aber zu wissen, dass die Beschreibung wirklich eine Ordnungsgruppe ist$21$du musst etwas arbeit investieren. Um zu verstehen, worauf ich hinaus will, enthält der Beitrag hier eine Beschreibung einer Gruppe mit 3 Generatoren und einigen Relationen, die sich nach einiger nicht trivialer Arbeit als die triviale Gruppe herausstellt.

Anstatt zu versuchen, dem, was Herstein tut, einen Sinn zu geben, sollten wir uns stattdessen einfach eine nichtabelsche Ordnungsgruppe aufbauen$21$verwenden$2 \times 2$Matrizen mit Einträgen in$\mathbf Z/7\mathbf Z$.

In der Gruppe$(\mathbf Z/7\mathbf Z)^\times$, die Untergruppe der Ordnung$3$Ist$\{1,2,4 \bmod 7\} = \{b \bmod 7 : b^3 \equiv 1 \bmod 7\}$. Lassen$G = \{(\begin{smallmatrix}b&c\\0&1\end{smallmatrix}) \bmod 7 : b^3 = 1 \}$. Die oberen rechten Einträge von Matrizen in$G$sind beliebige ganze Zahlen modulo$7$während die Einträge oben links auf die Elemente von beschränkt sind$(\mathbf Z/7\mathbf Z)^\times$mit Auftragsteilung$3$, und das sind die Kräfte von$2 \bmod 7$. Als Satz ,$G$Größe hat$21$:$3$Optionen für den oberen linken Eintrag und$7$Optionen für den oberen rechten Eintrag, und sie können beliebig ausgewählt werden.

Überprüfen$G$ist eine geschlossene Untermatrix-Multiplikation und Inversion, also$G$ist eine Ordnungsgruppe$21$. In$G$, lassen$a = (\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})$Und$x = (\begin{smallmatrix}2&0\\0&1\end{smallmatrix})$. Dann$a$hat Ordnung$7$,$x$hat Ordnung$3$, Und$xax^{-1} = (\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}) = a^2$. Insbesondere,$a$Und$x$nicht pendeln (seit$xax^{-1} = a^2$Und$a^2 \not= a$), So$G$ist nichtabelsch. Ein allgemeines Element von$G$sieht aus wie$(\begin{smallmatrix}2^i&j\\0&1\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}1&j\\0&1\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix}2^i&0\\0&1\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})^j (\begin{smallmatrix}2&0\\0&1\end{smallmatrix})^i = a^jx^i.$Herstein schreibt Elemente von ihm$G$in der Form$x^ia^j$. Als$i$Und$j$variieren, die Menge aller$a^jx^i$gleich der Menge von allem$x^ia^j$da jedes Element von$G$ist die Umkehrung von etwas in$G$Und$(a^jx^i)^{-1} = x^{-i}a^{-j}$.

Eine ähnliche Konstruktion ergibt eine nichtabelsche Ordnungsgruppe$pq$Wo$p$Und$q$sind solche Primzahlen$q \equiv 1 \bmod p$. Siehe oben auf Seite 5 hier . Sie betrachten den Fall$p = 3$Und$q = 7$.

Ja, obwohl richtig, ist diese Passage im Buch verwirrend. Ich erinnere mich, dass ich mich über dieses Beispiel geärgert habe, als ich das Buch zum ersten Mal gelesen habe.

Was Herstein zeigt, ist ein Sonderfall einer bestimmten Gruppenkonstruktion. Also mit einer Gruppe$G$und ein geeigneter Automorphismus$\phi$von$G$, können Sie eine neue Gruppe erstellen$H = \langle G, x \rangle$, Wo$G \trianglelefteq H$und Konjugation durch$x$wirkt auf$G$wie$\phi$tut.

An dieser Stelle des Buches wäre es für Herstein schwierig/umständlich, alle notwendigen Zusammenhänge und Details für diese Konstruktion anzugeben. Ich würde mir da nicht zu viele Gedanken machen und einfach weiterlesen. Ehrlich gesagt, wenn jemand das Buch zum ersten Mal verwendet, um etwas über Gruppen zu lernen, denke ich, dass die Art und Weise, wie dieses Beispiel präsentiert wird, nicht so hilfreich ist.

Das Symbol$x$ist nur ein ''formelles Symbol''. Es kommt nicht aus irgendeinem algebraischen System, man wählt einfach etwas außerhalb davon aus$G$dann ruf es an$x$. Dann definieren Sie eine Multiplikation auf dem Symbolsatz$\{x^i a^j\}$, vorbehaltlich der Regeln$x^3 = a^7 = e, x^{-1}ax = a^2$. (Dann ist das Produkt von$x$Und$a$ist nur$xa$, anders kann man es nicht beschreiben.)

Hier fehlen natürlich einige Details. Warum sollte diese Multiplikation wohldefiniert sein? Warum ist es assoziativ? Was sind die Umkehrungen?

Etwas Kontext:

• Angenommen, Sie haben eine Gruppe$G$und ein Automorphismus$\phi$von$G$. Dann können Sie mit der gleichen Konstruktion eine Gruppe konstruieren$H = \langle G, x \rangle$, Wo$x$ist ein formales Symbol und wir definieren die Multiplikation so$x^{-1}gx = \phi(g)$für alle$g \in G$. In diesem Fall$H = \{gx^i : g \in G, i \in \mathbb{Z}\}$. Außerdem bauen wir$H$so dass$\langle x \rangle \cap G = \{e\}$.
• Diese Konstruktion ist ein semidirektes Produkt$G \rtimes \langle \phi \rangle$, die eine Untergruppe des Holomorphs ist$G \rtimes \operatorname{Aut}(G)$. Schlagen Sie für weitere Einzelheiten Begriffe wie „semidirektes Produkt“, „externes semidirektes Produkt“, „Holomorph“ in einem Lehrbuch nach.
• Alternativ konstruiert Herstein die folgende Gruppe mit Generatoren und Relationen: $$\langle a,x : x^3 = a^7 = 1, x^{-1}ax = a^2 \rangle.$$ Schlagen Sie in einem Lehrbuch ''freie Gruppen'', ''Generatoren und Relationen'' nach.