Automorphismus-Gruppenreihenfolge, wenn alle Nicht-Identitätselemente die gleiche Reihenfolge haben

Eine homozyklische abelsche Gruppe mit allen Elementen der Primzahlordnung ist der einfachste Fall: das wären Gruppen der Form$C_p^n$mit$p$Prime und$n\gt 0$. Diese sind$n$-dimensionale Vektorräume über dem Körper von$p$Elemente, und so sind ihre Automorphismen genau durch gegeben$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$. Die Reihenfolge ist bekannt

$$(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n-p^{n-1})$$ was wie folgt verifiziert werden kann: Ein Automorphismus wird dadurch bestimmt, was er mit der geordneten Standardbasis macht. Es gibt$p^n-1$Wahlmöglichkeiten, wohin der erste Vektor gesendet werden soll (jeder Nicht-Null-Vektor); dann gibt es$p^n-p$Auswahlmöglichkeiten für den zweiten (jeder Vektor, der kein Vielfaches des Bildes des ersten ist); Dann$p^n-p^2$Auswahlmöglichkeiten für das zweite (jeder Vektor, der nicht in der Spannweite der Bilder der ersten beiden liegt) usw.

Aber selbst für die Primzahlordnung ist das Ergebnis ganz anders, wenn man homozyklische Gruppen verlässt. Die nichtabelsche Ordnungsgruppe$p^3$und Exponent$p$(auch bekannt als die Heisenberg-Gruppe über$\mathbb{F}_p$) hat beispielsweise die gleiche Anzahl von Ordnungselementen$p$als homocyclische Gruppe$C_p^3$; aber während letzteres eine Automorphismus-Gruppe der Ordnung hat$(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)$, Ersteres ist viel heikler: nicht jedes Ordnungselement$p$kann das Bild eines Generators sein.

Die Gruppe kann durch die Präsentation beschrieben werden

$$\langle x,y,z\mid x^p=y^p=z^p=1, yx=xyz, xz=zx, yz=zy\rangle.$$ Jeder Automorphismus wird vollständig durch das bestimmt, was er tut$x$und zu$y$. Jetzt,$x$wird abbilden$x^ay^bz^c$,$y$Karten zu$x^ry^sz^t$, Wo$a,b,c,r,s,t$ganze Zahlen modulo sind$p$, Wir müssen haben$as-rb\not\equiv 0\pmod{p}$, aber es gibt keine Bedingungen an$c$Und$t$. Das bedeutet, dass Sie hier eine Gruppe bekommen, die Ordnung hat$(p^2-1)(p^2-p)p^2$, seit der$4$-Tupel$(a,b,r,s)$muss einem Invertierbaren entsprechen$2\times 2$Matrix mit Koeffizienten in$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, und die Werte von$c$Und$t$sind frei.

Zum Beispiel für$p=3$, die homocyclische Gruppe$C_3^3$werde haben$26$Ordnungselemente$3$, und eine Automorphismusgruppe der Ordnung$(3^3-1)(3^3-3)(3^3-9) = 11,232$, während die Heisenberg-Gruppe ebenfalls eine hat$26$Ordnungselemente$3$, sondern eine Automorphismusgruppe der Ordnung$432$, weil die gesamte "Aktion" mit zwei Elementen statt mit drei linear unabhängigen Elementen wie im homozyklischen Fall stattfindet.

Die Situation ist heikler, als Sie es sich erhofft hatten.

Im einfachsten Fall, in den alle Ihre Beispiele fallen, nämlich Formgruppen$(\Bbb Z_p)^n$, sollten Sie sich diese als Vektorräume vorstellen$V$über das Feld$\Bbb F_p=\Bbb Z/p\Bbb Z$, Abmessungen$n$. Nun ist jeder Automorphismus einer solchen Gruppe auch ein$\Bbb F_p$-linearer Automorphismus, also bestimmt durch an$n$-von-$n$Matrix, die nichtsingulär sein muss.

Lassen$\{v_1,\cdots,v_n\}$sei eine Grundlage für dich$n$-dimensional$\Bbb F_p$-Raum. Du sendest$v_1$zu jedem Nicht-Null-Element von$V$,$p^n-1$Auswahlmöglichkeiten. Jetzt sende$v_2$zu jedem Element von$V$nicht in der Spanne$\langle v_1\rangle$, daher$p^n-p$neue Wahlmöglichkeiten. Jetzt sende$v_3$zu jedem Element von$V$nicht in der Spanne$\langle v_1,v_2\rangle$,$p^n-p^2$neue Wahlmöglichkeiten. Fahren Sie fort, und Sie sehen, dass Sie es getan haben$(p^n-1)(p^n-p^2)\cdots(p^n-p^{n-1})$Möglichkeiten für Ihre nichtsinguläre Matrix, und das ist die Antwort.