Innere Automorphismengruppe als Kern eines Homomorphismus

Bearbeiten, 25.09.20: Der Vorschlag, den ich am Ende gemacht habe, funktioniert.

Vorschlag: Let$G$eine Ordnungsgruppe sein$n$(was unendlich sein kann). Dann$\text{Inn}(G)$ist genau der Kern der Aktion von$\text{Aut}(G)$am Set agieren$\text{Hom}_{\text{HGrp}}(F_n, G)$von (gleichzeitigen) Konjugationsklassen von$n$-Tupel von Elementen von$G$.

Nachweisen. Vermuten$\varphi \in \text{Aut}(G)$wirkt trivial. Betrachten Sie seine Wirkung auf die$n$-Tupel, das von jedem Element von gegeben wird$G$. Dies beheben$n$-tuple bedeutet, es bis zur Konjugation zu reparieren, was bedeutet, dass es einige gibt$g \in G$so dass$\varphi(h) = ghg^{-1}$für alle$h \in G$, was genau das sagt$\varphi \in \text{Inn}(G)$. Andererseits ist jedes Element von$\text{Inn}(G)$wirkt offensichtlich trivial.$\Box$

Natürlich können wir es viel besser machen, als jedes Element von zu berücksichtigen$G$; es genügt, einen Stromerzeuger zu betrachten. Aber diese Konstruktion ist zumindest "kanonisch".

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Hier ist ein Ansatz, der vielleicht so aussieht, als würde er Ihnen nichts Neues sagen, aber ich werde etwas Konkreteres daraus extrahieren, das den Vorschlag verallgemeinert, sich Konjugationsklassen anzusehen.$\text{Out}(G)$tritt natürlicherweise als Automorphismusgruppe von auf$G$in einer Kategorie, die wir die Homotopie-Kategorie von Gruppen nennen könnten $\text{HGrp}$. Konkret lässt sich diese Kategorie wie folgt definieren:

• Objekte sind Gruppen$G$, Und
• Morphismen$f : G \to H$sind Konjugationsklassen von Homomorphismen, wobei zwei Homomorphismen$f_1, f_2 : G \to H$sind identifiziert ( homotopisch ), wenn es existiert$h \in H$so dass$h f_1 = f_2 h$.

Zum Beispiel:

• $\text{Hom}_{\text{HGrp}}(\mathbb{Z}, G)$ist die Menge der Konjugationsklassen von$G$
• $\text{Hom}_{\text{HGrp}}(G, S_n)$ist die Menge der Isomorphieklassen von Aktionen von$G$auf einer reihe von größe$n$
• $\text{Hom}_{\text{HGrp}}(G, GL_n(\mathbb{F}_q))$ist die Menge der Isomorphieklassen von Aktionen von$G$An$\mathbb{F}_q^n$

und so weiter.

Jetzt können wir die allgemeinere Tatsache beweisen, dass die Komposition in dieser Kategorie wohldefiniert ist (das heißt, dass die Homotopieklasse einer Komposition von Morphismen nur von der Homotopieklasse jedes Morphismus abhängt), was insbesondere impliziert, dass die Automorphismengruppe$\text{Aut}_{\text{HGrp}}(G)$von$G$in dieser Kategorie ist wirklich eine Gruppe, und natürlich ist diese Gruppe$\text{Out}(G)$.

Bisher ist dies nur eine geringfügige Erweiterung und Neuverpackung des Beweises durch Konjugation durch einen inneren Automorphismus, aber der Punkt ist, dass diese Konstruktion Ihnen sagt, was Konjugation durch einen inneren Automorphismus bedeutet . Die Homotopie-Kategorie von Gruppen hat eine zweite Beschreibung, wie folgt:

• Objekte sind Eilenberg-MacLane-Räume $K(G, 1) \cong BG$, Und
• Morphismen$f : BG \to BH$sind Homotopieklassen von Homotopieäquivalenzen.

Wir erhalten die gewöhnliche Kategorie von Gruppen, wenn wir stattdessen darauf bestehen, dass Eilenberg-MacLane-Räume Basispunkte haben und unsere Morphismen und Homotopien Basispunkte bewahren. Der Übergang zu Konjugationsklassen hat also mit der zusätzlichen Freiheit zu tun, die wir durch das Wegwerfen von Basispunkten erhalten. Hier die Verkörperung des Konjugationsunterrichts$\text{Hom}(\mathbb{Z}, G)$ist die Menge der freien Homotopieklassen von Schleifen$S^1 \to BG$.

Wie auch immer, all dies legt die folgende Verallgemeinerung der Betrachtung von Konjugationsklassen nahe: Wir können den gesamten darstellbaren Funktor betrachten

$$\text{Hom}_{\text{HGrp}}(-, G) : \text{HGrp}^{op} \to \text{Set}.$$

Nach dem Lemma von Yoneda ist die Automorphismengruppe dieses Funktors genau$\text{Aut}_{\text{HGrp}}(G) \cong \text{Out}(G)$. Was dies aussagt ist, dass ein äußerer Automorphismus von$G$ist dasselbe wie eine Auswahl für jede Gruppe$H$, eines Automorphismus (von Mengen) von$\text{Hom}_{\text{HGrp}}(H, G)$, was natürlich ist$H$. Wir können außerdem hoffen, dass es möglich ist, die Aufmerksamkeit auf eine kleinere Sammlung von Gruppen zu beschränken$H$; zum Beispiel (und darüber habe ich überhaupt nicht nachgedacht) ist es vielleicht möglich, sich auf die freien Gruppen zu beschränken$H = F_n$, das heißt anschauen$\text{Hom}_{\text{HGrp}}(F_n, G)$, die Menge der Konjugationsklassen von$n$Elemente von$G$(unter simultaner Konjugation).

Folgen Sie dem Hinweis von @ sss89 in den Kommentaren.

Bezeichnet mit$\operatorname{Cl}(a)$die Konjugationsklasse von$a\in G$, betrachten wir die natürliche Wirkung von$\operatorname{Aut}(G)$An$X:=\{\operatorname{Cl}(a), a\in G\}$, nämlich:$\sigma\cdot \operatorname{Cl}(a):=\operatorname{Cl}(\sigma(a))$. Dies ist in der Tat eine Aktion, weil:

1. gute Definition:$a'\in \operatorname{Cl}(a)\Rightarrow \sigma\cdot\operatorname{Cl}(a')=\operatorname{Cl}(\sigma(a'))$; Jetzt,$\sigma$ist (insbesondere) ein surjektiver Homomorphismus, und daher$\operatorname{Cl}(\sigma(a'))=\sigma(\operatorname{Cl}(a'))=\sigma(\operatorname{Cl}(a))=\operatorname{Cl}(\sigma(a))=\sigma\cdot \operatorname{Cl}(a)$, und die Karte ist wohldefiniert;
2. Durch den Bau,$\operatorname{Cl}(\sigma(a))\in X, \forall\sigma\in\operatorname{Aut}(G),\forall a\in G$;
3. $Id_G\cdot \operatorname{Cl}(a)=\operatorname{Cl}(Id_G(a))=\operatorname{Cl}(a), \forall a\in G$;
4. $(\sigma\tau)\cdot\operatorname{Cl}(a)=\operatorname{Cl}((\sigma\tau)(a))=\operatorname{Cl}(\sigma(\tau(a))=\sigma\cdot(\operatorname{Cl}(\tau(a)))=\sigma\cdot(\tau\cdot\operatorname{Cl}(a)), \forall \sigma,\tau\in\operatorname{Aut}(G), \forall a\in G$

Der punktweise Stabilisator unter dieser Aktion ist gegeben durch:

$$\begin{alignat}{1} \operatorname{Stab}(\operatorname{Cl}(a)) &= \{\sigma\in\operatorname{Aut}(G)\mid \operatorname{Cl}(\sigma(a))=\operatorname{Cl}(a)\} \\ &= \{\sigma\in\operatorname{Aut}(G)\mid \sigma(\operatorname{Cl}(a))=\operatorname{Cl}(a)\} \\ \end{alignat}$$

und der Kern des äquivalenten Homomorphismus$\phi\colon \operatorname{Aut}(G)\to \operatorname{Sym}(X)$von:

$$\begin{alignat}{1} \operatorname{ker}\phi &= \bigcap_{a\in G}\operatorname{Stab}(\operatorname{Cl}(a)) \\ &= \{\sigma\in\operatorname{Aut}(G)\mid \sigma(\operatorname{Cl}(a))=\operatorname{Cl}(a), \forall a\in G\} \\ \end{alignat}$$

Jetzt,$\operatorname{Inn}(G)=\{\varphi_b,b\in G\}$, Wo$\varphi_b(g):=b^{-1}gb$, und daher:

$$\begin{alignat}{1} \varphi_b(\operatorname{Cl}(a)) &= \{\varphi_b(gag^{-1}), g\in G\} \\ &= \{b^{-1}gag^{-1}b, g\in G\} \\ &= \{(b^{-1}g)a(b^{-1}g)^{-1}, g\in G\} \\ &= \{g'ag'^{-1}, g'\in G\} \\ &= \operatorname{Cl}(a), \forall a\in G \\ \end{alignat}$$

woher$\varphi_b\in \operatorname{ker}\phi, \forall b\in G$, und schlussendlich$\operatorname{Inn}(G)\subseteq \operatorname{ker}\phi$. Umgekehrt lassen$\sigma\in \operatorname{ker}\phi$; Dann,$\sigma(\operatorname{Cl}(a))=\operatorname{Cl}(a), \forall a\in G$; insbesondere:

$$\begin{alignat}{1} \sigma(\operatorname{Cl}(a))\subseteq\operatorname{Cl}(a), \forall a\in G &\Rightarrow \forall g\in G,\exists g'\in G\mid \sigma(gag^{-1})=g'ag'^{-1}, \forall a\in G \\ &\Rightarrow \exists g''\in G\mid \sigma(a)=g''ag''^{-1}, \forall a\in G \\ &\Rightarrow \exists g''\in G\mid \sigma(a)=\varphi_{g''}(a), \forall a\in G \\ &\Rightarrow \exists g''\in G\mid \sigma=\varphi_{g''} \\ &\Rightarrow \sigma\in \operatorname{Inn}(G) \\ &\Rightarrow \operatorname{ker}\phi\subseteq \operatorname{Inn}(G) \\ \end{alignat}$$

Also durch die doppelte Inklusion$\operatorname{Inn}(G)=\operatorname{ker}\phi$.

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BEARBEITEN . Gemäß den folgenden Kommentaren habe ich im letzten Teil dieser Antwort ab "Umgekehrt ..." einen Fehler gemacht. Daher bisher die einzige Aufnahme$\operatorname{Inn}(G)\subseteq\operatorname{ker}\phi$ist eigentlich bewiesen.

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BEARBEITEN (11. Dez. 2020)

Ich denke, dass die umgekehrte Inklusion und damit die Behauptung für die jeweilige Klasse gilt$G=S_n$, folgendermaßen.

Jede Konjugationsklasse ist eine bestimmte Zyklusstruktur, und dann umfasst jeder Stabilisator alle und nur die Automorphismen von$S_n$die eine bestimmte Zyklusstruktur bewahren, woher$\operatorname{Stab}(\operatorname{Cl}(\sigma))\le\operatorname{Inn}(S_n)$, für jeden$\sigma\in S_n$. Aber dann,$\operatorname{ker}\phi=\bigcap_{\sigma\in S_n}\operatorname{Stab}(\operatorname{Cl}(\sigma))\le\operatorname{Inn}(S_n)$.

Nun, Sie müssen nur die Kriterien der Normalität überprüfen. Lassen$F \in \text{Aut}(G)$Und$H \in \text{Inn}(G),\hspace{2mm} H(x) =hxh^{-1}$. Dann für$x \in G$, du hast

$$F\circ H \circ F^{-1}(x) = F(hF^{-1}(x)h^{-1})=F(h)xF^{-1}(h) .$$

Was eindeutig bedeutet$\text{Inn}(G)$ist normal drin$\text{Aut}(G)$