Tiefere Frage zu Cayleys Theorem

Der Satz von Cayley besagt, dass es einen injektiven Homomorphismus gibt ϕ : G → S N für jede endliche Gruppe mit | G | = N .

Lassen π : ϕ ( G ) → Z 2 Seien Sie die Zeichenkarte und senden Sie sogar Permutationen an 0 und ungerade Permutationen zu 1 . Wenn ich die Funktionen komponiere, bekomme ich π ∘ ϕ , dann ist der Kern des Homomorphismus immer noch ein Normalteiler von G . So, Ker ⁡ ( π ∘ ϕ ) ⊴ G .

Hat dieser Normalteiler eine gruppentheoretische Bedeutung? Ich bin mir nicht sicher, ob es eine Verbindung zu einer normalen Untergruppe von Elementen gerader Ordnung geben würde (mir fällt ein Gegenbeispiel dazu ein) oder ob es überhaupt eine entfernte Verbindung mit Elementen gerader Ordnung für diese Gruppe gibt.

Ich habe auch spekuliert, dass dies bedeutet, dass einfache Gruppen zu einem erzeugenden Satz von nur geraden Permutationen isomorph sein müssen. Die Idee des Beweises wäre, anzunehmen, dass der Kern der Funktionskomposition gleich der Identität ist. Somit sind die Nichtidentitätselemente von G muss auf ungerade Permutationen abgebildet werden. Die Multiplikation zweier ungerader Permutationen ergibt jedoch eine gerade Permutation. Es muss also ein nichttriviales Element geben, das auf eine gerade Permutation abgebildet wird.

Wenn es irgendetwas gibt, das ich berücksichtigen sollte, oder wenn es Fehler in meiner Argumentation gibt, würde ich es gerne hören.

Sie sollten erwarten, dass der Kernel vollständig ist G .
@Lubin Was ist mit für ϕ : Z 4 → S 4 von ϕ ( X ) = ( 1 2 3 4 ) X ? Dies ist der Homomorphismus in S 4 , obwohl eine Menge gerader Permutationen die Menge wäre ⟨ ( 1 3 ) ( 2 4 ) ⟩ , NICHT das gesamte Set.
Die Zyklen von ϕ ( G ) sind genau die richtigen Cosets ⟨ G ⟩ ∖ G , also können wir erwarten, dass es eine Ungerade gibt ϕ ( G ) (dh einen richtigen Kernel) genau dann, wenn es einen gibt G ∈ G von gleichmäßiger Ordnung | G | wofür | G | / | G | ist ungerade.
Es tut mir leid, aber ich sagte „Sie sollten damit rechnen“. Ich habe nicht gesagt, dass es die ganze Zeit passiert. Aber was ist wann G ist von ungerader Ordnung?
Zeichendarstellung von G im Sinne der Repräsentationstheorie.

Antworten (1)

Lassen G Ordnung sein N = 2 M , M ungerade und G ∈ G der Ordnung 2. dann die linke Multiplikation mit G ist ein Produkt von M Transposition, so ist seine Signatur ( − 1 ) M = − 1 .

Generell wenn G ist in Ordnung M , Und k = N M die linke Multiplikation ist ein Produkt von k Zyklen der Länge M , also seine Signatur ( − 1 ) k Wenn M ist gerade, 1 Wenn M ist ungerade.

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