Finden eines bestimmten Skalarprodukts aus einem Kreuzprodukt

Ihre endgültige Antwort ist richtig. Der Fehler in der ersten Berechnung war, dass Sie geschrieben haben, dass Sie haben müssen$-3x+1y=8$aber es hätte sein sollen$-3x+1x=8$.

Sie haben herausgefunden, dass das Kreuzprodukt ist$w=(-3,1,3)$was bedeutet, dass jeder Vektor, der zu beiden orthogonal ist$u_1$Und$u_2$muss auf der aufgespannten Linie liegen$w$, das heißt, muss die Form haben$\lambda w=(-3\lambda, \lambda, 3\lambda)$für einige$\lambda\in\mathbb{R}$. Die Punktproduktbeschränkung ergibt

Möglichkeit:

1) Vektor senkrecht zu$(1,0,1)$Ist$(a, b, -a)$.

2)$(a, b, - a) \cdot (1,3,0)=a+3b=0;$

Wir bekommen$(-3b,b,3b).$

3)$b(-3,1,3)\cdot (1,1,0)=8;$

$b(-3+1)=8; b=-4;$

Endlich haben wir$(12,-4,-12).$

Ich bin genauso vorgegangen wie @Snaw oben: Beliebiges Vielfaches von Vektor$\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$erfüllt die Anforderung, orthogonal zu den gegebenen Vektoren zu sein$u_1$Und$u_2$. Lassen$k$sei der Faktor dieses orthogonalen Vektors. Dies führt schließlich zu der Gleichung:$-3k\cdot 1+1k\cdot 1+3k\cdot 0 = 8$was Ihnen schließlich den Faktor gibt$k=-4$für deine Lösung.

Lassen$U = \begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\end{bmatrix}$Und$v = [1, 1, 0]$. Dann werden Sie aufgefordert, zu finden$x$so dass$Ux=0$Und$vx=8$. Beachten Sie, dass$x$ein dreidimensionaler Spaltenvektor ist, während die$0$In$Ux =0$ist ein zweidimensionaler Spaltenvektor. Sie können diese beiden Gleichungen zu einer kombinieren. Nehmen$M$eine Matrix mit den ersten beiden Zeilen zu sein$U$und die untere Reihe ist$v$:

$M= \begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\\1&1&0\end{bmatrix}$

Dann$Mx$ist ein dreidimensionaler Spaltenvektor, in dem sich die ersten beiden Einträge befinden$0$(stellt Orthogonalität dar) und der letzte Eintrag ist 8 (stellt das Skalarprodukt dar).$8$).

$\begin{bmatrix}1 &0 &1\\1 & 3 &0\\1&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\8\end{bmatrix}$

Die ersten beiden Reihen ergeben ein homogenes System. Denken Sie daran, dass homogene Systeme keine einzigartigen Lösungen liefern; jedes Vielfache eines homogenen Systems ist auch eine Lösung. Sobald Sie also die ersten beiden Zeilen zeilenreduziert haben, sollten Sie eine Lösung haben, die in Bezug auf eine freie Variable ausgedrückt wird. Sie können dann die letzte Zeile verwenden, um nach dem Wert dieser Variablen zu lösen.