Kreuzprodukt der linearen Algebra

Question

Kreuzprodukt der linearen Algebra

mitsch

Finden Sie alle Einheitsvektoren in der durch u = (3,0,1) und v = (1,-1,1) bestimmten Ebene, die senkrecht auf dem Vektor w = (1,2,0) stehen.

Warum kann ich das nicht mit der folgenden Methode lösen (und was ist die beste Methode mit dem Kreuzprodukt)?

$\mathbf{y} = a.\mathbf{u} + b.\mathbf{v} \qquad (a,b\in \Bbb{R})$

y gibt mir einen beliebigen Punkt im Flugzeug.

$c.\mathbf{w} = \mathbf{v} \times \mathbf{y} \qquad (c\in \Bbb{R})$

Das Kreuzprodukt gibt mir den senkrechten Vektor.

Finden Sie y so, dass a,b die obige Gleichung lösen und dann durch || teilen y || zu bekommen $\mathbf{\hat y}$ . Ich habe es 3 Mal versucht und jedes Mal komme ich zu der unsinnigen Antwort.

Vinicius Godim

Ich glaube nicht, dass Sie das Kreuzprodukt in diesem Problem brauchen oder verwenden sollten, da es nicht um einen Vektor geht, der gleichzeitig senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht. Es geht um einen Vektor in der Ebene, der senkrecht zu w steht, daher ist es viel einfacher, das Skalarprodukt zu verwenden. Finden Sie die (a,b) Lösungen, die <w,y> = 0 erfüllen. (2) Normalisieren Sie Ihre Lösung.

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Kreuzprodukt der linearen Algebra

Ich glaube nicht, dass Sie das Kreuzprodukt in diesem Problem brauchen oder verwenden sollten, da es nicht um einen Vektor geht, der gleichzeitig senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht. Es geht um einen Vektor in der Ebene, der senkrecht zu w steht, daher ist es viel einfacher, das Skalarprodukt zu verwenden. Finden Sie die (a,b) Lösungen, die <w,y> = 0 erfüllen. (2) Normalisieren Sie Ihre Lösung.

Benutzer · Answer 1

Beachten Sie, dass $\vec v \times \vec y$ steht aber senkrecht auf der Ebene $w$ ist nicht so, dass Ihr Zustand keine Lösung haben kann.

Wir brauchen kein Kreuzprodukt, sondern Skalarprodukt.

Beachten Sie in der Tat, dass der generische Vektor in der Ebene durch bestimmt wird $\vec u$ Und $\vec v$ werden von gegeben

\vec{X} = A \vec{u} + B \vec{v}

$\vec x= a\vec u + b \vec v$

mit $a,b \in \mathbb{R}$ .

Durch Rechtwinkligkeitsbedingung $\vec x \cdot \vec w=0$ wir erhalten

\vec{X} \cdot \vec{w} = 0 \vec{X} \cdot \vec{w} = A \vec{u} \cdot \vec{w} + B \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 ⟺ 3 A - B = 0 ⟺ B = 3 A

$\vec x \cdot \vec w=0\vec x \cdot \vec w =a\vec u \cdot \vec w+b\vec v \cdot \vec w=0\iff3a-b=0 \iff b=3a$

damit alle Vektoren in der Ebene bestimmt durch $\vec u$ Und $\vec v$ und senkrecht dazu $\vec w$ Sind

\vec{X} = A \vec{u} + 3 A \vec{v} = A (6, - 3, 4)

$\vec x= a\vec u + 3a \vec v=a(6,-3,4)$

und die entsprechenden Einheitsvektoren sind

| \vec{X} | = A \sqrt{36 + 9 + 16} = A \sqrt{61}

$|\vec x|=a\sqrt{36+9+16}=a\sqrt{61}$

\vec{j} = \pm \frac{\vec{X}}{| \vec{X} |} = \pm \frac{1}{\sqrt{61}} (6, - 3, 4)

$\vec y=\pm \frac{\vec x}{|\vec x|}=\pm\frac{1}{\sqrt{61}}(6,-3,4)$

user76568 · Answer 2

Die Menge aller Senkrechten zu $w$ Ist $A=span\{(2,-1,0),(0,0,1)\}$ .

$span\{u,v\} \cap A=span\{u+3v\}$ .

So $\pm \frac{u+3v}{||u+3v||}$

Danke für die Antwort! Welche Methode verwenden Sie, um die Spanne aller Vektoren senkrecht zu w zu finden, und wie haben Sie den Schnittpunkt zwischen A und span{u,v} gefunden?
Augenballen. Aber im Ernst: Wir sind dabei $\mathbb{R}^3$ . Es gibt ein und nur ein Flugzeug, zu dem $w$ ist normal. Jedes von den $2$ Spannende Vektoren in $A$ steht senkrecht dazu $w$ für sich und damit das gesamte Flugzeug $A$ ist die einzigartige Ebene $w$ ist normal. Nun, beides $u$ Und $v$ nicht senkrecht auf sich selbst stehen $w$ . Daher ist ihre Spannweite nicht $A$ ! Daher muss ihr Schnittpunkt höchstens eine Dimension haben $1$ . Sie wählen also einfach eine Linearkombination aus $u,v$ das funktioniert und es überspannt die Kreuzung. Kapiert?

Kreuzprodukt der linearen Algebra

mitsch

Vinicius Godim

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Benutzer

user76568

mitsch

user76568

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