Verwenden Sie das Kreuzprodukt, um den Richtungsvektor der Linie zu finden, der den Schnittpunkt von Linie und Ebene und den Fuß der Senkrechten von Linie zu Ebene verbindet.

Stellen Sie sich diese Linie vor$r=a+\lambda\vec{d}$ist eine Schnittebene$\pi: \vec{r}.\hat n = k$

• Das Kreuzprodukt von$\hat n \times \hat{d} = \hat{u_1}$Das$\hat{u_1}$wird der Einheitsvektor sein, der senkrecht zur Ebene der Linie ist, die die Linie enthält$r=a+\lambda\vec{d}$und Flugzeug$\pi: \vec{r}.\hat n = k$

• Nun nehmen wir das Kreuzprodukt von$\hat{u_1}$Und$\hat n$: $\hat {u_2} = \hat {u_1} \times \hat n$wird der erforderliche Einheitsvektor sein.

• Hinweis: Hier die$\hat {u_2}$hängt vom Einheitsvektor ab$\hat d$Ich meine$\hat u_2 = \hat {u_1} \times \hat n$oder$\hat {u_2} = \hat n \times \hat {u_1}$

Finden Sie den Richtungsvektor der Linie PQ.

Hier habe ich Einheitsvektoren nur verwendet, da Sie an der Richtung interessiert waren$\vec{PQ}$;

Das Segment$PQ$liegt in einer Ebene, die von der Senkrechten zur Ebene aufgespannt wird$n$und dem Richtungsvektor$d$, also ist die Normale zu dieser Ebene$n \times d$. Aber$PQ$liegt auch in der Ebene, deren Normale ist$n$, daher der Richtungsvektor von$PQ$muss entlang des Vektors liegen$(n \times d) \times n$

Lassen$\alpha$sei der Winkel dazwischen${\bf n}$Und${\bf d},$Und$\beta$sei der Winkel dazwischen${\bf n}$und die Senkrechte zu beiden${\bf n}$Und${\bf d}.$

1. hat Größenordnung

   $$\Big(\Vert\hat{\bf n}\Vert \,\Vert{\bf d}\Vert|\,\sin\alpha|\Big)\,\Vert\hat{\bf n}\Vert\,|\sin\beta|\\ =\Vert\hat{\bf n}\Vert \,\Big(\Vert{\bf d}\Vert|\,\sin\alpha|\Big)\,\Vert\hat{\bf n}\Vert\,|\sin\beta| \\=(1)\,PQ\,(1)\,|\sin90^\circ |\\=PQ;$$

2. • steht senkrecht dazu$\hat{\bf n},$
   • und zur Normalen der aufgespannten Ebene$\hat{\bf n}$Und${\bf d},$liegt also in der von aufgespannten Ebene$\hat{\bf n}$Und${\bf d};$

   ist also kollinear zu$\vec{PQ}$(was auch rechtwinklig ist$\hat{\bf n}$).