Ist ein Linienbivektor dasselbe wie ein Vektor?

In der Zusammenfassung dieses Artikels sagte der Autor Folgendes:

Ein Element dieses Vektorraums wird Linienbivektor genannt.

Laut Wiki ,

..., ein Vektorraum (auch linearer Raum genannt) ist eine Menge von Objekten, die Vektoren genannt werden, ...

Wenn also ein Linienbivektor ein Element eines Vektorraums ist, muss ein Linienbivektor ein Vektor sein, da alle Elemente eines Vektorraums Vektoren sind. Hab ich recht?

PS: Ich bin ein absoluter Laie in linearer Algebra.

Nicht sicher, was Ihr Punkt ist. Der Autor dieses Artikels führt eine kontextspezifische Definition ein. Dies ist sicherlich keine allgemein akzeptierte Terminologie.
Schlagen Sie Geometrische Algebra nach.
Später im Artikel ist Folgendes zu finden: „Gleitende Vektoren bilden einen Teil eines größeren Vektorraums. Ein Element dieses größeren Raums wird als Linienbivektor oder Schraube bezeichnet. Wir werden sehen, dass der Begriff „Linienbivektor“ geometrisch natürlich ist. Sonstiges Begriffe wie „Schraube“ und „Schraubenschlüssel“ können in physikalischen Anwendungen angemessen sein. Die genaue Definition des Linienbivektors wird später gegeben, aber hier ist eine kurze Vorschau. Ein Linienbivektor kann (nicht eindeutig) in der Form dargestellt werden
M = P ∧ u + a ,
Wo a ist ein Bivektor über dem gebaut N dimensionaler Vektorraum v ."
Ich bin sicher, Sie werden dieses Video hilfreich finden . Sehen Sie sich auch die anderen Videos auf dem Kanal an. Er gibt einen kurzen Kurs über lineare Algebra mit dem Ziel, auf GA-Ideen aufzubauen. Sie können sich auch das Buch Geometric Algebra von Alan Macdonald ansehen. Es baut LA in GA. Es ist jedoch möglicherweise jenseits der Tiefe, nach der Sie im Moment suchen.
@Buraian Vielen Dank, mein Herr!
Offensichtlich ist die Teilmenge eines Vektorraums nicht notwendigerweise ein Vektorraum. Später im Artikel „Die Sammlung aller gleitenden Vektoren P ∧ u Wo P und u beide variieren ist kein Vektorraum; Es ist eine Teilmenge des Vektorraums von Linienbivektoren der Dimension 2 N − 1 ." Siehe Quora .
Später im Artikel "Es gibt auch eine Möglichkeit, die Situation in Dimension n = 3 zu beschreiben, wo ein Bivektor oft durch einen Pseudovektor dargestellt wird."
Ja, eine Teilmenge eines Vektorraums ist nicht unbedingt ein Vektorraum. Ich empfehle, dass Sie sich zuerst etwas grundlegende lineare Algebra ansehen – die auf YouTube öffentlich zugänglichen Vorlesungen von MIT Open Courseware von Gilbert Strang sind eine gute Ressource. Der Grund dafür ist, dass Vektorräume unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen sein müssen, während beliebige Teilmengen eines Vektorraums dies nicht sein müssen.

Antworten (1)

Ja, Sie haben technisch Recht, dass Bivektoren auch Vektoren in dem Sinne sind, dass sie in einem Vektorraum leben. Das Problem dabei ist, dass die Terminologie widersprüchlich verwendet wird: In einigen Zusammenhängen (insbesondere in der Differentialgeometrie und in der Physik) bezieht sich der Begriff "Vektor" nur auf Mitglieder eines bestimmten Typs von Vektorraum, während "Bivektor" dann etwas anderes bezeichnet , bezogen auf den ersten festen Vektorraum.

Beispielsweise könnte sich „Vektor“ in diesen Kontexten speziell auf ein Element von beziehen R N , dh ein N -dimensionaler euklidischer Vektor, während sich dann Bivektor auf eine lineare Kombination von Begriffen der Form bezieht e ich ∧ e J Wo e ich sind Basisvektoren für R N Und ∧ bezeichnet das äußere Produkt.

Eine Analogie: Der Begriff "Skalar" wird normalerweise verwendet, wenn wir bereits einen Vektorraum haben v über einem bestimmten Feld fixiert K , wobei Elemente dieses Basisfeldes K heißen dann Skalare. Dies ist ein relativer Begriff zum Vektorraum v . So ist es zum Beispiel richtig R ist ein Vektorraum über sich selbst, also Elemente von R können auch als Vektoren bezeichnet werden - aber in manchen Kontexten, beispielsweise in der Physik, stellt man sich reelle Zahlen normalerweise als Skalare vor. Ähnliches gilt für "Bivektor", dieser wird auch als erster Vektorraum verwendet v ist schon fest im Kopf.

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