Vektoren, Vektorräume und lineare Algebra

Ich habe ein paar Zweifel in Bezug auf Vektoren und lineare Algebra im Allgemeinen:

  1. Was ist die formale Definition eines Vektors?
  2. Wenn wir sagen R N , meinen wir mit die Menge aller Spaltenmatrizen N Einträge oder alle Zeilenmatrizen mit n Einträgen oder alle geordnet N Tupel, das ist ( A 1 , . . . . . , A N ) ?
  3. Wenn alle Mitglieder eines Vektorraums Vektoren sind, da R ein Vektorraum ist, dann wird impliziert, dass alle reellen Zahlen Vektoren sind. Ist mein Verständnis richtig?
  4. Können wir Vektoren geometrisch als frei oder fest behandeln? Was ist die richtige Konvention?
Reelle Zahlen sind Einkomponentenvektoren.

Antworten (2)

  1. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums

  2. Wir meinen normalerweise bestellt N Tupel. Manchmal möchten wir jedoch die anderen Beschreibungen - je nach Kontext. Alle diese Räume sind natürlich isomorph (als Vektorräume).

  3. Reelle Zahlen sind definitiv Vektoren, da sie Mitglieder von a sind 1 dimensionaler Vektorraum.

  4. Wir behandeln Vektoren normalerweise als "fest". Zum Beispiel der Vektor ( 1 , 0 ) In R 2 kann man sich als Vektor vorstellen, dessen „Spitze“ der Punkt ist ( 1 , 0 ) und "Schwanz" ist der Punkt ( 0 , 0 ) .

Voldemort, wenn du sagst "normalerweise behandeln", was meinst du damit? Ist die Konvention flexibel? Außerdem habe ich ein intuitives Verständnis dafür, was isomorph bedeutet, aber da ich ein Student im ersten Jahr bin, könnten Sie mir bitte eine strenge Definition geben?
Es spielt keine Rolle, ob Sie den Vektor als Zeile oder Spalte aufschreiben, dies ist nur eine Schreibweise, die je nach Lehrer sehr unterschiedlich ist, aber das Objekt selbst ist dasselbe, die Schreibweise ist nur eine Art, das Objekt darzustellen . Sie könnten sogar einen Vektor in verschiedenen Polarformen aufschreiben, aber das Objekt ist immer noch dasselbe. Ich möchte hinzufügen, dass ich die Begriffe frei und fest nicht mag , da ein Vektor überall ist , aber die Pfeile, die wir alle gerne als Visualisierung zeichnen, sind nur eine andere Darstellung, aber nicht das Objekt selbst!
Normalerweise bedeutet behandeln, dass dies in den meisten Kontexten die Bedeutung ist, die Sie finden würden. In der Mathematik verwenden einige Leute manchmal eine andere Konvention - und um sicher zu gehen, verwende ich den Begriff "normalerweise behandeln". Isomorph bedeutet, dass sie die gleiche Struktur wie Vektorräume haben - dh es existiert eine Eins-Eins-auf-lineare-Abbildung, die zwischen den beiden Räumen umkehrbar ist.
@flawr: Genau - die Räume sind isomorph. Die meisten Menschen, die ich kenne, denken lieber R N als N Tupel, aber die anderen beiden Ansätze sind sowieso gleich.
@flawr: Hmmmm sind die 2 Objekte nicht unterschiedlich? Sie können zum Beispiel nicht sagen, dass eine 2-mal-1-Matrix dasselbe ist wie eine 1-mal-2-Matrix, oder? Voldemorts Erklärungsweise scheint sinnvoll zu sein, da er die Isomorphie zwischen den beiden Räumen anerkennt, sie aber als unterschiedliche Objekte betrachtet.
@RaghavTalwar Natürlich gibt es einen Unterschied zwischen einer 2 x 1- und einer 1 x 2-Matrix, wenn Sie sie als Darstellungen linearer Funktionen betrachten (die selbst wiederum als Mitglieder von Vektorräumen interpretiert werden können), aber hier sprechen wir über die Darstellung von Vektoren in R N . Natürlich können Sie Spalten- und Zeilenvektoren strikt trennen und von Isomorphismen zwischen ihnen sprechen, aber andererseits werden isomorphe Objekte oft als dasselbe Objekt behandelt , da zwei isomorphe Objekte genau dieselben Eigenschaften haben.
Exakt. Danke, dass du das geklärt hast.
  1. Wir sagen „Vektor“ statt „Element eines Vektorraums“, besonders aus Tradition im Unterricht über abstrakte Vektorräume. Wir könnten auch "Punkt" oder "Stuhl" sagen, wenn wir wollten.
  2. Wenn wir sagen R N , wir meinen N -Tupel.
  3. Ihr Verständnis ist richtig, wenn Sie meinem Punkt Nr. 1 zustimmen.
  4. Stellen wir uns geometrisch hinein R 2 , "das Flugzeug": Auf Ihrer Zeichnung können Sie die Elemente interpretieren R 2 wie Sie möchten, solange es Sinn macht. Für mich kann ich vertreten ( 2 , 3 ) um einen Punkt A , „Punkt A mit Koordinaten 2 Und 3 ". Wenn ich an der Linie interessiert bin D der Gleichung j = 5 − X , zum Beispiel weil es die Tangente an die Funktion ist F : R → R , X ↦ 3 − Sünde ⁡ ( X − 2 ) Bei A werde ich natürlich eher darüber sprechen ( 1 , − 1 ) als Vektor u = ( 1 , − 1 ) , was ein Richtungsvektor von ist D . Um D Ich werde sagen, dass es die affine Linie von ist R 2 , D = A + R . u , und ich werde es selbstverständlich als eine Reihe von Punkten auffassen. Und ich werde schwanger R u als durchlaufende Vektorlinie u .
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