Nichtstandardisiertes inneres Produkt auf RnRn\mathbb{R}^n

Lassen X = ( X 1 , … , X N ) Und j = ( j 1 , … , j N ) seien zwei Vektoren in R N . Zeige, dass

⟨ X , j ⟩ = 2 ( ∑ ich = 1 N X ich j ich ) − ∑ ich = 1 N − 1 ( X ich j ich + 1 + X ich + 1 j ich )
definiert ein inneres Produkt.

Die Bedingungen für Linearität und Konjugation sind elementar, aber wie würde ich positive Bestimmtheit zeigen? Das heißt, zeigen, dass:

⟨ X , X ⟩ = 2 ( ∑ ich = 1 N X ich 2 ) − ∑ ich = 1 N − 1 ( 2 X ich X ich + 1 ) ≥ 0 ,
Und
⟨ X , X ⟩ = 0 ⟺ X = 0.
Ich stecke fest, wie man die Ausdrücke manipuliert.

Bitte helfen Sie!

Cauchy-Schwarz ist dein Freund
Für den ersten Teil könntest du das verwenden 0 ≤ ( X − j ) 2 = X 2 + j 2 − 2 X j . Versuchen Sie, die Definition der IP umzuschreiben.
@eepperly16 Normalerweise wäre das ideal, aber ohne Cauchy-Schwarz anzunehmen und nur nach den ersten Prinzipien zu arbeiten, ist erwünscht.

Antworten (2)

2 ( ∑ ich = 1 N X ich 2 ) − ∑ ich = 1 N − 1 ( 2 X ich X ich + 1 ) = X 1 2 + X N 2 + ∑ ich = 1 N − 1 ( X ich − X ich + 1 ) 2 ≥ 0

Einfacher und ordentlicher finde ich folgenden Ansatz:

Lassen A ∈ M N ( R ) definiert als

A ( M , N ) ≐ { 1 , N = M + 1 0

So für X = ( X 1 , . . . , X N ) wir haben A X = ( X 2 , . . . , X N , 0 ) .

Dann können wir das innere Produkt umschreiben ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ in Bezug auf das Standard-Innenprodukt ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ R N als

⟨ X , j ⟩ = 2 ⟨ X , j ⟩ R N − ⟨ X , A j ⟩ R N − ⟨ A X , j ⟩ R N = ⟨ X − A X , j − A j ⟩ R N

und profitieren Sie von ihren bereits etablierten Eigenschaften.

Daraus folgt unmittelbar die Linearität, die Symmetrie und die Positiv-Eindeutigkeit.

Ich überlasse es Ihnen, das zu überprüfen ⟨ X , X ⟩ = 0 ⟺ X = 0 .

Nichtstandardisiertes inneres Produkt auf RnRn\mathbb{R}^n
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