Wie bilden Zufallsvariablen Vektorräume mit definiertem Skalarprodukt?

Ich bin bei diesem Thema weit überfordert, aber ich bitte um ein paar konzeptionelle, umrahmende Aussagen, um das Gesamtbild auf einer intuitiven Ebene zu verstehen.

In Hilbert Space Methods in Probability and Statistical Inference von Christopher G. Small, Don L. McLeish ist zu lesen:

Lassen G sei die Menge aller Funktionen X : Ω →> R so dass ( X ∧ N 1 ) ∨ ( − N 1 ) ∈> H für alle natürlichen Zahlen N . Der Satz G kann unter der üblichen punktweisen Addition und skalaren Multiplikation als Vektorraum gezeigt werden .

Was ist also die Verbindung zwischen den Zufallsvariablen (und insbesondere ihren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen) und Vektor- oder inneren Produkträumen? Insbesondere, und wenn diese Aussagen / Fragen der Realität entfernt nahe kommen, inwiefern sind PDFs linear mit der Skalarmultiplikation?

Als Antwort auf den Kommentar ist dies die zitierte Passage:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Und dies ist der von @symplectomorphic bereitgestellte Link , der die Frage wirklich löst:

Viele der Konzepte in diesem Kapitel lassen sich elegant interpretieren, wenn wir uns reellwertige Zufallsvariablen als Vektoren in einem Vektorraum vorstellen. Insbesondere hängen Varianz und höhere Momente mit dem Konzept von Norm und Distanz zusammen, während Kovarianz mit dem inneren Produkt zusammenhängt. Diese Verbindungen können dazu beitragen, einige der Ideen in diesem Kapitel aus einem anderen Blickwinkel zu vereinheitlichen und zu beleuchten. Natürlich sind reellwertige Zufallsvariablen einfach messbare, reellwertige Funktionen, die auf dem Stichprobenraum definiert sind, so dass ein Großteil der Diskussion in diesem Abschnitt ein Spezialfall unserer Diskussion von Funktionenräumen im Kapitel über Verteilungen ist, aber neu formuliert im Notation der Wahrscheinlichkeit.

Ausgangspunkt ist wie üblich ein Zufallsexperiment, das durch einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) modelliert wird. Somit ist Ω der Abtastraum, F die σ-Algebra der Ereignisse und P das Wahrscheinlichkeitsmaß. Unser grundlegender Vektorraum V besteht aus allen reellwertigen Zufallsvariablen, die auf (Ω, F, P) definiert sind. Erinnern Sie sich, dass die Zufallsvariablen X1 und X2 äquivalent sind, wenn P(X1 = X2) = 1, in diesem Fall schreiben wir X1 ≡ X2. Wir betrachten zwei solche Zufallsvariablen als denselben Vektor, sodass unser Vektorraum technisch aus Äquivalenzklassen unter dieser Äquivalenzrelation besteht. Der Additionsoperator entspricht der üblichen Addition von zwei reellwertigen Zufallsvariablen, und die Operation der Skalarmultiplikation entspricht der üblichen Multiplikation einer reellwertigen Zufallsvariablen mit einer reellen (nicht zufälligen) Zahl.

Ich vermute, dass ∧ Und ∨ sind das Minimum und das Maximum, aber was sind N 1 , > R Und > H ?
@AlexM. Dieselbe Frage, obwohl ich vermute 1 ist nur ein Vektor von 1 'S.
Leute, ich bin mir nicht sicher, aber es könnte eine Indikatorvariable sein, so wie es fett gedruckt ist (?).
Auch wenn Sie an Zufallsvariablen als Elemente von denken L 2 , sie sind tatsächlich Elemente eines Hilbert-Raums. Dies gibt auch der bedingten Wahrscheinlichkeit eine saubere geometrische Interpretation.
@AntoniParellada ein Indikator für welches Set / Ereignis?
@TheoreticalEconomist Ich verstehe, dass dies möglicherweise wichtiger ist, als mir klar ist, aber wenn möglich, möchte ich mich auf den allgemeinsten Rahmen in Bezug auf die Verbindung zwischen Zufallsvariablen (und PDFs) und Vektorräumen konzentrieren. Was ist zum Beispiel L 2 ? Das ist mein Niveau des (Nicht-)Verstehens an dieser Stelle.
Ihre Titelfrage macht einen semantischen Fehler und verwechselt das Objekt einer Struktur mit der Struktur selbst. Eine Zufallsvariable ist kein Vektorraum. Die Sammlung von Zufallsvariablen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, ist jedoch ein Vektorraum.
Was ist eine "kontinuierliche" Zufallsvariable?
Und was ist ein "Wahrscheinlichkeits-Hilbert-Raum"?
@AlexM. Ich verstehe Sie wahrscheinlich falsch, aber ich denke, der Begriff "kontinuierliche Zufallsvariable" ist üblich.
@symplectomorphic Dies ist die Art von Kommentar, nach der ich suche. Vor allem, da es eine Verbindung zu PDFs herstellt.
Mein Kommentar ist keine Antwort: Es ist eine Bitte, den Titel nicht prima facie absurd zu machen. Was Sie fragen wollen, ist, ob oder wie Zufallsvariablen einen Vektorraum bilden , nicht ob Zufallsvariablen Vektorräume sind .
@symplectomorphic Fair genug, obwohl ich glaube, sehr deutlich zum Ausdruck gebracht zu haben, dass ich mich mit dem Thema nicht wohl fühle und nur ein Layout der wichtigsten Rahmenkonzepte möchte - eine Skizze. Insofern läge die Korrektur eines Missverständnisses im Titel durchaus im Rahmen dessen, was von einer didaktischen Antwort zu erwarten wäre.
@symplectomorphic Jetzt sehe ich Abwertungen und Anträge auf Schließung. Ich werde die Frage gerne löschen und entschuldige mich dafür, dass ich in irgendeiner Weise beleidigt bin, wenn ich eine solch selbstverständliche dumme Frage gestellt habe.
Ich habe nicht abgelehnt. Hier gibt es eine gute Frage, aber ich denke, sie wurde schon einmal gestellt (Suche nach dem Hilbert-Raum von Zufallsvariablen). Ich sage nur, dass Ihr Titel keinen Sinn ergibt und einen Mangel an Vertrautheit mit den grundlegenden Objekten verrät, nach denen Sie fragen.
Hier ist ein elementarerer Überblick über das Grundgerüst. Sie scheinen Zufallsvariablen mit ihren Dichten zu verwechseln. Der Vektorraum, der in dem von Ihnen zitierten Buch untersucht wird, ist der Raum der Zufallsvariablen, auch bekannt als der Raum der messbaren Funktionen (die bestimmte Bedingungen erfüllen), nicht der Raum der Dichtefunktionen für diese Zufallsvariablen. Sie haben Recht, dass Dichten unter punktweiser Addition und skalarer Multiplikation nicht geschlossen sind.
@symplectomorphic Danke, ich denke, das verdeutlicht das Gesamtbild ein wenig. Wenn Sie irgendeine Neigung haben, wären Ihre Kommentare eine großartige Antwort, und ich würde sie akzeptieren.
@AntoniParellada: Es fällt mir schwer zu verstehen, wie der Absatz, den Sie in Ihren Beitrag eingefügt haben, Ihre Frage beantwortet, während meine Antwort dies nicht tut, da beide im Wesentlichen dasselbe sagen. Beachten Sie auch, dass Ihre Zufallsvariablen im Hilbert-Raum bewertet sind, im Gegensatz zu reellen Werten. Beachten Sie auch, dass das große Zitat mit Klassen von Zufallsvariablen funktioniert (auf denen Sie möglicherweise keine Leistung erbringen ∧ Und ∨ ) mit Gleichheit bis hin zu Nullmengen, während Sie mit "echten" Zufallsvariablen arbeiten. Wenn Sie glauben, dass dieser Absatz Ihre Frage beantwortet, dann haben Sie ihn nicht verstanden! :)
@Alex M.: die Zufallsvariablen in der Menge G sind realwertig; Sie sind Funktionen mit Domäne Ω und Kodomäne R . Wie auch immer, ich denke, das eigentliche Problem des OP liegt in der letzten Frage: "Inwiefern sind PDFs linear mit Skalarmultiplikation?" Die Antwort ist, dass der Vektorraum aus Zufallsvariablen besteht, nicht aus ihren PDFs.
Danke, @symplectomorphic Ich denke, die Verwirrung liegt in der Tatsache, dass Vektoren auf Anfängerebene entweder Pfeile oder Polynome oder Fourier-Funktionen sind. Aber eine Zufallsvariable ist abstrakter: eine Abbildung vom Abtastraum auf die reale Linie (typischerweise). Es könnte also verständlich sein, die "Gleichung" (das Polynom oder die Fourier-Reihe) zu übersehen und im PDF danach zu suchen. Das ist so viel, wie ich es annähern kann. Ihr Link hat sehr geholfen, eine grobe Skizze zu sehen - ein unscharfes NASA-Bild einiger entfernter Planeten ... Fürs Erste.
Schön, dass ich helfen kann. Es scheint, dass Sie einfach nicht daran gewöhnt sind, über Funktionsräume nachzudenken , die Vektorräume von Funktionen sind. Sie haben Recht, dass die elementarsten Beispiele für Vektorräume eher bodenständig sind: Sätze von Pfeilen oder geordnet N -Tupel. Aber reellwertige Funktionen auf einigen Mengen bilden auch einen Vektorraum unter punktweiser Addition und punktweiser Skalarmultiplikation: Addieren von zwei Funktionen ("Vektoren") F Und G ergibt eine neue Funktion ("Vektor") F + G dessen Wert bei X ist nur F ( X ) + G ( X ) usw. In Ihrer Frage sind die Funktionen die reellwertigen messbaren Funktionen im Probenraum.

Antworten (1)

Sie verwechseln "punktweise Skalarmultiplikation" mit "Skalarprodukt". Für a ∈ R Und X ∈ G man kann die punktweise Skalarmultiplikation durch definieren ( a X ) ( ω ) = a ( X ( ω ) ) , für ω ∈ Ω . Das Skalarprodukt wird hier nicht erwähnt.

Wenn Sie wirklich wollten, könnten Sie natürlich auch ein Skalarprodukt durch definieren ⟨ X , j ⟩ = ∫ Ω X ( ω ) j ( ω )   D μ Wo μ ist die Maßnahme eingeschaltet Ω , aber es muss darauf geachtet werden, dass die Konvergenz des obigen Integrals für alle gewährleistet ist X Und j , und um dieses Skalarprodukt nicht entartet zu machen (Sie müssen mit Funktionsklassen usw. arbeiten). Dies könnte beispielsweise durch Anforderung erfolgen μ endlich sein. Jedenfalls versucht Ihr Text dies nicht zu vermitteln.

Garantiert das nicht die Tatsache, dass wir in einem Wahrscheinlichkeitsraum arbeiten? μ ist endlich?
@TheoreticalEconomist: Das tut es, aber ist das gegeben Ω ist ein Wahrscheinlichkeitsraum und nicht nur ein Raum mit Maß?
@AlexM. Ich vermute es, aber ich nehme an, es ist nicht genau explizit formuliert. Fair genug.
Wie bilden Zufallsvariablen Vektorräume mit definiertem Skalarprodukt?
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