Vektorraumverständnis

• "Vektorraum ist ein prägnanter Begriff, wenn er sich auf jedes mathematische Objekt (Funktionen, Spaltenmatrix / Vektor usw.) bezieht, das mit einer Zahl multipliziert und addiert werden kann." Was "mit einer Zahl multipliziert und addiert werden kann", ist nicht der Vektorraum, sondern die Elemente eines Vektorraums.

• "ein Feld, wenn es sich um eine Menge handelt, die es uns erlaubt, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchzuführen, UND wo Sie dadurch innerhalb dieser Menge bleiben würden". Eine Menge erlaubt keine "Addition, Subtraktion, ...", eine Menge ist nur eine Sammlung von Elementen. Ein Feld ist eine Menge$X$UND zwei Operationen$+,\cdot:X \times X\rightarrow X$bestimmte Bedingungen erfüllen. Was passieren kann, ist, dass Sie ein Feld haben$(X,+,\cdot)$und frage mich, ob eine Teilmenge$Y\subseteq X$ist darunter geschlossen$+,\cdot$(das ist,$a,b\in Y\rightarrow a+b,ab\in Y$). Derselbe Satz$X$kann verschiedene, nicht äquivalente Operationen unterstützen$+,\cdot$, ein Feld zu sein ist also keine Eigenschaft von$X$, sondern eine Struktur, die wir darauf betrachten.

• Ein Feld ist eine vor dem Vektorraum gegebene Struktur , d. h. ein Vektorraum ist ein Vektorraum über einem Feld. In der Regel legen Sie ein Feld fest$F$und betrachte dann einen Vektorraum$V$über diesem Feld. Das Feld$F$sind jene Elemente, die die Vektoren von multiplizieren$V$. Zum Beispiel,$\mathbb R^2$ist normalerweise ein Vektorraum vorbei$\mathbb R$(der Klassiker$\alpha(v_1,v_2)=(\alpha v_1,\alpha v_2)$), es kann aber auch ein Vektorraum darüber sein$\mathbb C$(als$(a+ib)(v_1,v_2)=(av_1-bv_2,av_2+bv_1)$), müssen Sie angeben, auf welches Feld eingegriffen werden soll$\mathbb R^2$.

Nun, wenn$V$ist ein Vektorraum über einem Körper$F$und Sie haben ein Unterfeld$F'\subseteq F$, dann kannst du machen$V$in einen Vektorraum über$F'$(Beschränken Sie einfach die Multiplikation mit dem Skalar auf$F'$). So$F$fungiert als "übergeordnetes" Feld, aus dem Sie ein kleineres Feld extrahieren$F'$über dem Sie die Skalarmultiplikation betrachten. Im vorigen Beispiel geben Sie erst einmal die Struktur an$\mathbb R^2$eines Vektorraums vorbei$\mathbb C$, dann können Sie auf ein beliebiges Unterfeld von beschränken$\mathbb C$(Zum Beispiel$\mathbb R,\mathbb Q$,usw)

Bearbeiten Sie ein Feld $F$ist so etwas wie$\mathbb Q$, es ist ein Satz$F$mit einem Zusatz$+$(was eine Funktion ist$F\times F\rightarrow F$) und eine Multiplikation$\cdot$. Die Multiplikation auf einem Feld ist eine Form der Skalarmultiplikation (jedes Feld ist ein Vektorraum über sich selbst, wie z$\mathbb R$ist ein reelles Vektorfeld, also ein Vektorfeld vorbei$\mathbb R$). Ein Vektorraum vorbei$F$ist ebenfalls eine Menge$V$mit einem Zusatz$+:V\times V\rightarrow V$(abweichend vom Zusatz im Feld$F$, nehmen Sie zum Beispiel$\mathbb R^2$mit komponentenweiser Summe$(v,w)+(v',w')=(v+v',w+w')$) und eine "Skalarmultiplikation"$\cdot:F\times V\rightarrow V$bestimmte Bedingungen erfüllen (z$a(v+w)=av+aw$für alle$a\in F,v,w\in V$, usw). Normalerweise ist "Skalarmultiplikation" für Vektorräume reserviert, während "Multiplikation" für Felder reserviert ist. Was wichtig ist, ist die Addition und Multiplikation auf einer Menge$F$sind nicht notwendigerweise eindeutig, d. h. dieselbe Menge$F$kann andere Operationen darauf haben, die es in ein Feld machen. Ein Körper (und ähnlich ein Vektorraum oder wirklich jede andere algebraische Struktur) ist also nicht einfach eine Menge, sondern eine Menge mit einigen festen Operationen.

Schließlich bedeutet "geschlossen unter" normalerweise, dass eine bestimmte Menge die Ergebnisse bestimmter Operationen enthält, die an ihren Elementen durchgeführt wurden. Im Allgemeinen, wenn ich einen Satz habe$X$und eine bestimmte Operation$f:X^n\rightarrow X$(wie Addition oder Multiplikation oder etwas Allgemeineres) ist sagen wir, dass eine Menge$Y\subseteq X$ist "geschlossen unter$f$" Wenn

$$f(a_1,\cdots,a_n)\in Y,\text{ for all }a_1,\cdots,a_n\in X$$ das ist wenn$f$hat Elemente von$Y$als "Eingabe" gibt es ein Element von zurück$Y$. Zum Beispiel$\mathbb Z\subseteq \mathbb Q$ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation ($\{0\}$ist auch abgeschlossen unter Multiplikation und Addition),$\{-1,1\}$ist abgeschlossen unter Multiplikation, aber nicht Addition und$\{-1\}$ist weder unter Multiplikation noch unter Addition abgeschlossen.