Berechnung eines Vektors durch Bildung des Gradienten des Integrals seiner Divergenz

Sie lösen die Poisson-Gleichung in 3 Dimensionen. Das Problem ist also, dass Sie ein Vektorfeld erhalten$\mathbf{u}$An$\Bbb{R}^3$, und Sie haben seine Divergenz angegeben$\nabla\cdot \mathbf{u}=-\rho$, für eine bekannte Funktion$\rho$. Sie stellen auch die Bedingung, dass es keine Kräuselung hat (Elektrostatik). Als Ergebnis können wir ein skalares Potential einführen$\phi$so dass$\mathbf{u}=-\nabla \phi$(ein ganz spezieller Fall von Poincares Lemma). Als Ergebnis suchen wir eine Funktion$\phi$An$\Bbb{R}^3$so dass

$$\begin{align} \nabla^2\phi&=\rho \end{align}$$ (weil wir wollen$\nabla^2\phi=\nabla\cdot (\nabla\phi)=\nabla\cdot (-\mathbf{u})=-\nabla\cdot\mathbf{u}=-(-\rho)=\rho$). Diese Gleichung ist als Poisson-Gleichung bekannt und ist so ziemlich der Ausgangspunkt ernsthafter Elektrostatik.

Nun stellt sich die Frage, wie man bei der Lösung einer solchen PDE vorgehen könnte. Nun, um mit allen mathematischen Details darüber zu sprechen, müssten wir über die Verteilungstheorie sprechen, was ich jetzt sicherlich nicht tun werde. Lassen Sie uns also heuristisch diskutieren. Beachten Sie, dass der Laplace-Operator ein linearer Operator ist. Nehmen Sie also insbesondere an, jemand hat "Ladungsdichten" angegeben.$\rho_1,\rho_2$und eine Zahl$c\in\Bbb{R}$, und nehmen wir an, Sie finden wie durch ein Wunder Funktionen$\phi_1,\phi_2$so dass$\nabla^2\phi_1=\rho_1$Und$\nabla^2\phi_2=\rho_2$. Nehmen wir nun an, ich sage Ihnen, Sie sollen eine Funktion finden$\phi$so dass

$$\begin{align} \nabla^2\phi=c\rho_1+\rho_2. \end{align}$$ Was würden Sie tun? Nun, das Naheliegendste wäre zu nehmen$\phi=c\phi_1+\phi_2$, denn dann haben wir eindeutig $$\begin{align} \nabla^2(\phi)&=\nabla^2(c\phi_1+\phi_2)=c\nabla^2\phi_1+\nabla^2\phi_2=c\rho_1+\rho_2, \end{align}$$ genau wie gewünscht. Dies wird auch als Superpositionsprinzip bezeichnet. Übrigens die Funktion$\phi=c\phi_1+\phi_2$ist nicht die einzig mögliche Lösung; es gibt unendlich viele andere (um die Eindeutigkeit zu gewährleisten, müssen wir Randbedingungen angeben, z. B. das Verschwinden im Unendlichen).

Nun geht es im nächsten Schritt weiter. Betrachten wir das Problem, eine Ladungsdichte zu haben, die gleich der einer Einheit positiver Punktladung ist, die sich am Ursprung befindet, dh ein Dirac-Delta$\delta_0$(Von hier aus brauchen wir die Verteilungstheorie, um die Dinge richtig zu diskutieren). Das heißt, wir suchen nach einer Funktion$G_0$so dass$\nabla^2G_0=\delta_0$; Eine solche Funktion ist als fundamentale Lösung des Laplace-Operators oder als Green-Funktion für den Laplace-Operator bekannt. Lassen wir die Frage, wie man eigentlich findet, vorerst beiseite$G_0$. Unter der Annahme der Existenz von$G_0$, versuchen wir, Lösungen für das allgemeine Problem zu rekonstruieren.

• Erstens, was passiert, wenn sich die Punktladung an einem Punkt befindet$p\in\Bbb{R}^3$, nicht unbedingt am Ursprung, also der Ladungsdichte liegt$\delta_p$. Wie können wir in diesem Fall eine Lösung finden? Nun, es ist ziemlich einfach, sich von der Funktion zu überzeugen$\phi(\xi)=G_0(\xi-p)$löst die Gleichung$\nabla^2\phi=\delta_p$. Mit anderen Worten, wenn Sie den Ort der Punktladung übersetzen, sollten wir besser das Argument der Funktion übersetzen$G_0$sowie.

• Was wäre, wenn wir mehrere Punktgebühren an mehreren Standorten mit jeweils unterschiedlichen Gebühren hätten? Angenommen, Sie hatten Punktladungen$q_1,\dots, q_k$an Positionen angesiedelt$p_1,\dots, p_k$. Die Ladungsdichte ist also$\rho=q_1\delta_{p_1}+\cdots q_k\delta_{p_k}$(Denken Sie daran, dass Dirac-Delta in 3 räumlichen Dimensionen Einheiten von 1/Länge hat$^3$, also das$\rho$hat tatsächlich Einheiten der Ladungsdichte). Wie können wir in diesem Fall eine Lösung finden? Nun, durch die Linearitäts- und Übersetzungsargumente, die ich gerade erwähnt habe, haben wir das$\phi(\xi)=\sum_{i=1}^kq_iG_{p_i}(\xi)=\sum_{i=1}^kq_iG_0(\xi-p_i)$wird die Poisson-Gleichung für diese spezifische Ladungsverteilung erfüllen. Wir nehmen also eine "gewichtete Summe" von Funktionen, um die richtige Ladungsdichte zu erreichen.

• Nehmen wir schließlich an, wir haben nicht nur eine endliche Menge von Punktladungen und eine willkürliche (z. B. kompakt unterstützte) Ladungsverteilung$\rho$. Dann sollten wir damit rechnen, Summen durch Integrale zu ersetzen, um das zu bekommen$\phi(\xi)=\int_{\Bbb{R}^3}\rho(p)G_0(\xi-p)\,dV(p)$, dh wir integrieren die Ladungsdichte multipliziert mit der Fundamentallösung über den ganzen Raum (Integrale bzgl$p$). Oder wenn Sie die gestrichene Notation bevorzugen,$\phi(\xi)=\int_{\Bbb{R}^3}\rho(\xi')G_0(\xi-\xi')\,dV'$.

Es stellt sich heraus, dass$G_0(\xi):=\frac{1}{4\pi |\xi|}$erfüllt$\nabla^2G_0=\delta_0$, und dass dies die eindeutige Lösung ist, die eine Funktion ist, die im Unendlichen verschwindet, so dass der obige integrale Ausdruck wird$\phi(\xi)=\frac{1}{4\pi}\int_{\Bbb{R}^3}\frac{\rho(\xi')}{|\xi-\xi'|}\,dV'$.

In ausgefallenerer mathematischer Sprache ist dies eine Faltung der Funktion/Grundlösung von Green mit der Ladungsdichte, geschrieben$\phi=G_0*\rho$, und daher (im Sinne der Verteilung)$\nabla^2\phi=(\nabla^2(G_0))*\rho=\delta_0*\rho=\rho$.

Als lustige Tatsache, wenn Sie die Poisson-Gleichung in lösen würden$n$-räumliche Dimensionen, dann ist die grundlegende Lösung$G_0(\xi)=\frac{1}{(n-2)A_{n-1}}\frac{1}{|\xi|^{n-2}}$, Wo$A_{n-1}$ist die Oberfläche der$(n-1)$-dimensionale Sphäre (ggf$n=3$, das ist die Oberfläche der 2-dimensionalen Kugel, die ist$4\pi$; und das ist genau das$4\pi$die in Ihrer Formel erscheinen). Wenn Sie die vollständigen blutigen Details wünschen, habe ich zuvor eine Antwort zu dieser Angelegenheit verfasst (oder Sie können sie einfach googeln).

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Um es noch einmal zu betonen: Die Crux ist nicht wirklich, dass wir ein Vektorfeld anhand seiner Divergenz dargestellt haben. In der E&M/Newtonschen Gravitation sollte man sich dies als eine Lösung vorstellen, die man durch Superposition erhält. Dieser Ansatz ist für das Denken nützlich, weil er für viele andere PDEs gilt: die Wärmegleichung, die Wellengleichung (offensichtlich wichtig, wenn Sie über die klassische Theorie des Lichts sprechen, dh elektromagnetische Wellen), die Helmholtz-Gleichung usw., die alle offensichtlich sehr wichtig sind Physik.