Vektorgleichung mit Kreuzprodukt und Einheitsvektor

Wir können schreiben

$$b \times \hat v =[b]_\times \hat v = \pmatrix{0&-b_3&b_2\\b_3&0&-b_1\\-b_2&b_1&0} \hat v$$ Somit haben wir $$\mathbf{a} + \mathbf{b} \times \hat{\mathbf{v}} = c \hat{\mathbf{v}} \implies\\ \mathbf{a} = -[\mathbf{b}]_\times \hat{\mathbf{v}} + cI\; \hat{\mathbf{v}} \implies\\ (cI - [\mathbf{b}]_\times) \hat{\mathbf{v}} = \mathbf{a} \implies\\ \pmatrix{c&b_3&-b_2\\-b_3&c&b_1\\b_2&-b_1&c} \hat {\mathbf v} = \mathbf{a}$$ Glücklicherweise ist diese Matrix für alle Nicht-Null-Reellen invertierbar $c$.

Schreiben$\bf v$als Linearkombination von$\bf a$,$\bf b$Und$\bf a\times b$. Wenn$\bf a$Und$\bf b$linear unabhängig sind, erhält man drei unabhängige Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten.

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$$\bf v=\alpha {\bf a}+\beta{\bf b}+\gamma {\bf a \times b}$$ Setzen Sie es in die Gleichung ein: $${\bf a}+\alpha {\bf b}\times{\bf a}+\gamma{\bf a}|b|^2-\gamma({\bf a \cdot \bf b}){\bf b}=c(\alpha {\bf a}+\beta{\bf b}+\gamma {\bf a \times b})$$

Gleichung für die${\bf a}$Komponente:

$$1+\gamma |b|^2=c\alpha$$ Gleichung für die ${\bf b}$Komponente: $$-\gamma ({\bf a \cdot b})=c\beta$$ Gleichung für die ${\bf a\times b}$Komponente: $$-\alpha=c\gamma$$ Erste und letzte Gleichung ergeben zusammen: $$\gamma=-\frac{1}{c^2+|b|^2}$$ $$\alpha=\frac{c}{c^2+|b|^2}$$ Die zweite Gleichung ergibt dann: $$\beta=\frac{({\bf a\cdot \bf b})/c}{c^2+|b|^2}$$

Dies ist nun eine allgemeine Lösung der obigen Gleichung. Erzwingen des Vektors${\bf v}$Einheitslänge zu haben gibt Ihnen dann eine Bedingung für$c$. Versuchen Sie, dies selbst zu tun. Vorsicht bei Erweiterung aller Terme in${\bf v \cdot v}$.