Wie gehe ich bei dieser Frage vor

Question

Wie gehe ich bei dieser Frage vor

Wurzeln
Quadratik
Mathematik
Algebra-Vorkalkül

Elli

Lassen $a,b \in\Bbb N$ , $a$ ist ungleich zu $b$ und die quadratischen Gleichungen $(a-1)x^2 -(a^2 + 2)x +a^2 +2a=0$ Und $(b-1)x^2 -(b^2 + 2)x +b^2 +2b=0$ eine gemeinsame Wurzel haben, dann der Wert von $ab/5$ Ist

Was ich also tat, war,

Ich subtrahierte die beiden Gleichungen und bekam

$x=(a+b+2)/(a+b)$ Ich habe versucht, es in eine Gleichung zu setzen, es hat nicht funktioniert, dann habe ich versucht, die Gleichungen hinzuzufügen und dann den Wert einzugeben, es hat immer noch nicht funktioniert.

Ich kann nicht scheinen herauszufinden, wie ich dieses Problem angehen soll. Kann jemand helfen?

Aravind Suresh Thakidayil

Wenn zwei Quadrate

a x^{2} + b x + c

$ax^2 + bx +c$ Und

A x^{2} + B x^{2} + C

$Ax^2 + Bx^2 + C$ haben dann eine gemeinsame Wurzel

(A C - C A)^{2} = (A B - B A) (B C - B C)

$(Ac - cA)^2 = (aB-bA)(bC - Bc)$

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Wie gehe ich bei dieser Frage vor

Wenn zwei Quadrate $ax^2 + bx +c$ Und $Ax^2 + Bx^2 + C$ haben dann eine gemeinsame Wurzel $(A C - C A)^{2} = (A B - B A) (B C - B C)$ $(Ac - cA)^2 = (aB-bA)(bC - Bc)$

Jose Carlos Santos · Answer 1

Lassen $q_a(x)=(a-1)x^2-(a^2+2)x+a^2+2a$ . Jede Wurzel $r$ von $q_a(x)$ und von $q_b(x)$ ist auch eine Wurzel von

(B - 1) Q_{A} (X) - (A - 1) Q_{B} (X) = (- A^{2} B + A^{2} + A B^{2} + 2 A - B^{2} - 2 B) (X - 1) .

$(b-1)q_a(x)-(a-1)q_b(x)=\left(-a^2b+a^2+a b^2+2 a-b^2-2b\right)(x-1).$ Deshalb,

r = 1

$r=1$ oder

\begin{matrix} (1) & - A^{2} B + A^{2} + A B^{2} + 2 A - B^{2} - 2 B = 0. \end{matrix}

$-a^2b+a^2+a b^2+2 a-b^2-2b=0.\tag1$ Aber du kannst nicht haben

r = 1

$r=1$ , Weil

\begin{aligned} 1 ist eine Wurzel von Q_{A} (X) & ⟺ Q_{A} (1) = 0 \\ ⟺ 3 A - 3 = 0 \\ ⟺ A = 1. \end{aligned}

$\begin{align}1\text{ is a root of }q_a(x)&\iff q_a(1)=0\\&\iff3a-3=0\\&\iff a=1.\end{align}$ Also, wenn

1

$1$ war eine Wurzel von beidem

q_{a} (x)

$q_a(x)$ Und

q_{b} (x)

$q_b(x)$ , du würdest haben

a = b = 1

$a=b=1$ , aber davon gehst du aus

a \neq b

$a\ne b$ .

Wenn Sie andererseits haben $(1)$ , Dann $a=b$ oder $a=\frac{b+2}{b-1}=1+\frac3{b-1}$ . Seit $a,b\in\Bbb N$ , kann dies nur in zwei Fällen auftreten: wann $b=2$ (in welchem Fall $a=4$ ) und wann $b=4$ (in welchem Fall $a=2$ ). In beiden Fällen haben Sie $\frac{ab}5=\frac85$ .

dxiv · Answer 2

Hinweis: $\;t=a,b$ sind die beiden Wurzeln des Quadrats $\,(t-1)x^2-(t^2+2)x+t^2+2t=0\,$ für den Wert von $\,x\,$ das ist die gemeinsame Wurzel.

einsamer Schüler · Answer 3

Wenn Sie die Formeln von Vieta gerne verwenden , finden Sie hier die mögliche Lösung, die auf diesen Formeln basiert:

Vorausgesetzt $x$ Als Koeffizient können Sie beobachten, dass $a$ Und $b$ sind Wurzel des Quadrats in Bezug auf die Variable $u:$

u^{2} (1 - X) + u (X^{2} + 2) - (X^{2} + 2 X) = 0, X \neq 1

$u^2(1-x)+u(x^2+2)-(x^2+2x)=0, ~ x≠1$

Dann haben wir, wenn wir die Formeln von Vieta verwenden

\begin{aligned} A B = \frac{X^{2} + 2 X}{X - 1} \\ ⟹ & X^{2} + X (2 - A B) + A B = 0 \\ ⟹ & X_{1} X_{2} = A B \end{aligned}

$\begin{align}&ab=\frac{x^2+2x}{x-1}\\ \implies &x^2+x(2-ab)+ab=0 \\ \implies &x_1x_2=ab\end{align}$

Dann haben wir auch einen quadratischen Bezug zur Variablen $x:$

(A - 1) X^{2} - (A^{2} + 2) X + A^{2} + 2 A = 0, A \neq 1

$(a-1)x^2 -(a^2 + 2)x +a^2 +2a=0, ~ a≠1$

Seit $a≠0$ , indem wir Vietas Formeln erneut anwenden, erhalten wir

\begin{aligned} \frac{A^{2} + 2 A}{A - 1} = A B \\ ⟹ & B = \frac{A + 2}{A - 1} \\ ⟹ & B = 1 + \frac{3}{A - 1} \\ ⟹ & A \in {2, 4} \\ ⟹ & A B = 8 \\ ⟹ & \frac{A B}{5} = \frac{8}{5} . \end{aligned}

$\begin{align}&\frac{a^2+2a}{a-1}=ab\\ \implies &b=\frac{a+2}{a-1}\\ \implies &b=1+\frac{3}{a-1}\\ \implies &a\in\left\{2,4\right\}\\ \implies &ab=8 \\ \implies &\frac{ab}{5}=\frac 85. \end{align}$

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Aravind Suresh Thakidayil

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Jose Carlos Santos

dxiv

Elli

einsamer Schüler

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f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

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