Warum erzeugt das Quadrieren beider Seiten hier keine fremden Wurzeln?

Question

Warum erzeugt das Quadrieren beider Seiten hier keine fremden Wurzeln?

Wurzeln
Mathematik
Polynome
Algebra-Vorkalkül

versucht, bestialisch zu sein

Verfahren $1$ :

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

2 X = 1

$2x=1$

X = \frac{1}{2}

$x=\frac{1}{2}$

Verfahren $2$ :

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

(2 X - 1)^{2} = 0

$(2x-1)^2=0$

(2 X - 1) (2 X - 1) = 0

$(2x-1)(2x-1)=0$

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

2 X = 1

$2x=1$

X = \frac{1}{2}

$x=\frac{1}{2}$

Warum bekommen wir keine fremden Wurzeln im Prozess? $2$ ?

NickD

Sie erhalten eine zusätzliche Wurzel:

x = 1 / 2

$x=1/2$ ist eine doppelte Wurzel aus dem Quadrat.

Paul

@NickD, eine fremde Wurzel ist nicht dasselbe wie eine zusätzliche Wurzel. Eine Fremdwurzel ist eine, die die ursprüngliche Gleichung nicht löst.

NickD

Die ursprüngliche Gleichung hat eine Wurzel. Wenn Sie es quadrieren, haben Sie zwei Wurzeln: Eine davon ist nach meiner Definition irrelevant, aber YMMV.

Benutzer247327

Wenn x = 1, dann ist x ^ 2 = 1, was zwei Wurzeln hat, 1 und -1. Aber wenn x = 0, dann x ^ 2 =, was nur x = 1 als Wurzel hat.

Antworten (3)

Warum erzeugt das Quadrieren beider Seiten hier keine fremden Wurzeln?

Sie erhalten eine zusätzliche Wurzel: $x=1/2$ ist eine doppelte Wurzel aus dem Quadrat.
@NickD, eine fremde Wurzel ist nicht dasselbe wie eine zusätzliche Wurzel. Eine Fremdwurzel ist eine, die die ursprüngliche Gleichung nicht löst.
Die ursprüngliche Gleichung hat eine Wurzel. Wenn Sie es quadrieren, haben Sie zwei Wurzeln: Eine davon ist nach meiner Definition irrelevant, aber YMMV.
Wenn x = 1, dann ist x ^ 2 = 1, was zwei Wurzeln hat, 1 und -1. Aber wenn x = 0, dann x ^ 2 =, was nur x = 1 als Wurzel hat.

Paul · Answer 1

Paul

Du bekommst keine fremden Wurzeln, weil du Null quadrierst. Es gibt nur einen Wert, der quadriert Null ergibt. Wenn Sie es mit einem Wert ungleich Null tun würden, würden Sie überflüssige Wurzeln hinzufügen, weil es eine zweite Zahl geben würde, die dasselbe Quadrat hat.

Paul

@lonestudent was hat dieses Gegenbeispiel mit dem zu tun, was ich gesagt habe?

Paul

Ich habe keine Ahnung was du sagst. Das Problem ist nicht, dass Sie beim Quadrieren denselben Wert erhalten; Es gibt keinen anderen Wert, der ein Quadrat hat, das gleich Null ist, im Gegensatz zu 1, das 2 Werte hat, wobei es das Quadrat hat.

aaaaa sagt Monica wiedereinsetzen

@lonestudent

0^{2} = 0

$0^2 = 0$ , Aber

(- 1)^{2} = 1

$(-1)^2 = 1$ ebenso gut wie

(+ 1)^{2} = 1

$(+1)^2=1$ Das ist das Argument. Es gibt 2 Zahlen, die quadriert 1 ergeben

einsamer Schüler

@aaa Ja, jetzt ist mir die Bedeutung dieses Satzes klar: "Wenn du es mit einem Wert ungleich Null gemacht hättest, würdest du fremde Wurzeln hinzufügen, weil es eine zweite Zahl geben würde, die das gleiche Quadrat hat" sehr schön.

Pedro · Answer 2

Weil Fremdwurzeln nicht unbedingt durch Quadrieren beider Seiten entstehen. Sie werden erzeugt, indem anstelle einer Folge logischer Äquivalenzen eine Folge logischer Implikationen gesetzt wird. Siehe Beispiele in dieser Antwort .

In Ihrem Fall stellt sich heraus, dass

\begin{aligned} 2 X - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 X = 1 \\ \Leftrightarrow & X = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} &2x-1=0\\ \Leftrightarrow \quad&2x=1\\ \Leftrightarrow \quad &x=\tfrac{1}{2}\end{aligned}$

ebenso gut wie

\begin{aligned} 2 X - 1 = 0 \\ \overset{*}{\Leftrightarrow} & (2 X - 1)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 X - 1) (2 X - 1) = 0 \\ \overset{* *}{\Leftrightarrow} & 2 X - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 X = 1 \\ \Leftrightarrow & X = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned}&2x-1=0\\ \overset{*}\Leftrightarrow \quad&(2x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \quad&(2x-1)(2x-1)=0\\ \overset{**}\Leftrightarrow \quad&2x-1=0\\ \Leftrightarrow \quad&2x=1\\ \Leftrightarrow \quad&x=\tfrac{1}{2}\end{aligned}$

In $*$ wir können benutzen " $\Leftrightarrow$ " anstatt " $\Rightarrow$ " Weil $0$ hat nur eine Quadratwurzel.

In $**$ wir können benutzen " $\Leftrightarrow$ „Ohne Einschränkung $x\neq\frac{1}{2}$ Weil $ab=0$ iff $a=0$ oder $b=0$ (das heißt, wir dividieren nicht durch Null).

Die anderen Äquivalenzen sind einfach.

Es ist das Quadrieren beider Seiten, das eine logische Implikation anstelle einer Äquivalenz erzeugt. $x=y \rightarrow x^2 = y^2$ ist nicht reversibel. Dein erster Satz ist also falsch.
@Paul Squaring erzeugt nur dann eine logische Implikation $y\neq 0$ . Somit erzeugt das Quadrieren im Allgemeinen keine fremden Wurzeln.
@Paul Ich habe den ersten Satz korrigiert. Ich denke, jetzt ist es klarer.

Benutzer · Answer 3

Durch die Nullprodukteigenschaft haben wir das

A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 \lor B = 0

$A\cdot B=0 \iff A=0 \quad \lor \quad B=0$

Deshalb

(2 X - 1) (2 X - 1) = 0 ⟺ 2 X - 1 = 0 \lor 2 X - 1 = 0 ⟺ 2 X - 1 = 0

$(2x-1)(2x-1)=0 \iff 2x-1=0 \quad \lor \quad 2x-1=0 \iff 2x-1=0$

@Pedro Ich habe diskutiert, warum wir in diesem Fall keine fremden Wurzeln durch Quadrieren erzeugen, was die gestellte Frage beantwortet. Ich habe nicht diskutiert, wie Fremdwurzeln im Allgemeinen erzeugt werden können.
@lonestudent, Benutzer Oh, Entschuldigung. Es macht jetzt Sinn. Ich habe es falsch verstanden. Ich werde meinen vorherigen Kommentar löschen.

Warum erzeugt das Quadrieren beider Seiten hier keine fremden Wurzeln?

versucht, bestialisch zu sein

NickD

Paul

NickD

Benutzer247327

Antworten (3)

Paul

Paul

Paul

aaaaa sagt Monica wiedereinsetzen

einsamer Schüler

Pedro

Paul

Pedro

Pedro

Benutzer

einsamer Schüler

Benutzer

Pedro

Bedingung für Quartic-Quarzwurzeln, dass sie real sind und zwei zusammenfallen

f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

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