Summe und Produkt der Wurzeln eines Polynoms

Nehmen wir an, wir hatten eine$n$Polynomgleichung grads$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, mit$a$als reeller Koeffizient. Was wäre die Summe und das Produkt seiner Wurzeln (in Bezug auf$a$)? Ich glaube, ich habe das Produkt eins, aber nicht die Summe.

Für das Produkt:

Nehmen wir an, die Wurzeln des Polynoms sind$r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$.

Dann kann das Polynom faktorisiert werden als:

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)$

Wir können dies gleich dem ursprünglichen Polynom setzen:

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$

Vergleiche konstante Terme:

$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$konstanter Begriff =$a_0$.

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)$konstanter Begriff =$(-1)^n*(\frac{r_1}{a_n})*r_2*r_3*\cdots*r_n$

$a_0=(-1)^n*(\frac{r_1}{a_n})*r_2*r_3*\cdots*r_n$

Multiplizieren$(-1)^na_n$beide Seiten:

$r_1*r_2*r_3*\cdots r_n=(-1)^na_0a_n$

Ist das richtig? Was kann ich auch für die Summe der Wurzeln tun (ich denke, wir verwenden die Koeffizienten von$x^{n-1}$)?

BEARBEITEN: JW Tanner hat in seinem Kommentar angemerkt , dass dies Vietas Formeln sind , die genau das sind, wonach ich gesucht habe, aber nicht finden konnte.