Das Polynom P(x)P(x)P(x) hat nnn reelle Wurzeln im Intervall [a,b][a,b][a,b]. Zeigen Sie, dass die (n−1)st(n−1)st(n-1)^{st}-Ableitung mindestens eine Nullstelle im Intervall [a,b][a,b][a,b] hat.

Tipp: Lass$x_1,...,x_n$seien die Wurzeln von$P$, impliziert der Satz von Rolle, dass es eine Wurzel von gibt$P'$zwischen$x_i$Und$x_{i+1}$, So$P'$hat$n-1$unterschiedliche Wurzeln werden rekursiv fortgesetzt.

Das ist eigentlich falsch. Lassen$a = -1$,$b=1$, Und$P(x) = (x^2-1)(2x^2 + 1) = 2x^4 - x^2 -1$.$P$hat genau zwei Wurzeln in$[a,b]$, Aber$P'(x) = 8x^3 -2x = 8x(x-1/2)(x+1/2)$hat drei Wurzeln in$[a,b]$

Da das (die) Differential(e) des Polynoms immer existiert, können wir den „Mittelwertsatz“ verwenden:

Für stetig differenzierbare Funktion$f(x)$In$(a,b)$, es gibt mindestens einen$c$Wo$a < c < b$so dass$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Sagen wir das jetzt$P(x)$hat$n$deutliche echte Wurzeln in$(a,b)$welche sind$d_{1,1},d_{1,2},...,d_{1,n}$

Der Mittelwertsatz sagt uns, dass es sein wird:

$d_{1,1} < d_{2,1} < d_{1,2}$so dass$P’(d_{2,1})=\frac{P(d_{1,2})-P(d_{1,1})}{d_{1,2}-d_{1,1}}=0$

$d_{1,2} < d_{2,2} < d_{1,3}$so dass$P’(d_{2,2})=\frac{P(d_{1,3})-P(d_{1,2})}{d_{1,3}-d_{1,2}}=0$

...

$d_{1,n-1} < d_{2,n-1} < d_{1,n}$so dass$P’(d_{2,n-1})=\frac{P(d_{1,n})-P(d_{1,n-1})}{d_{1,n}-d_{1,n-1}}=0$

Deshalb,$P’(x)$hat$n-1$deutliche echte Wurzeln in$(a,b)$welche sind$d_{2,1},d_{2,2},...,d_{2,n-1}$.

Wiederholen, fanden wir$P^{[2]}(x)$hat$n-2$deutliche echte Wurzeln in$(a,b)$,$P^{[3]}(x)$hat$n-3$,$P^{[4]}(x)$hat$n-4$, usw.

Beachten Sie das Muster?

$P^{[k]}(x)$hat$n-k$deutliche echte Wurzeln in$(a,b)$.