Wie zeigt man die Monotonie der ℓpℓp\ell^p-Normen?

Du hast Recht @user1736.

Wenn$0<a\leq1$Dann

$$\left(\sum |a_n|\right)^a\leq \sum|a_n|^a.\tag{1}$$

Daher für$p\leq q$wir haben$p/q\leq1$, Und

$$\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{1/q}=\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{p/qp}\leq \left(\sum_n |x_n|^{q(p/q)}\right)^{1/p}=\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$$

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Bearbeiten: Wie beweisen wir (1) (z$0<a<1$)?

Schritt 1. Es reicht aus, dies für endliche Folgen zu beweisen, weil wir dann Grenzen nehmen können.

Schritt 2. Um die Aussage für endliche Folgen zu beweisen, genügt es zu beweisen

$$(x+y)^a\leq x^a+ y^a,\quad\text{ for $x,y>0$}\tag{2}$$ weil der endliche Fall nur Iterationen von (2) sind.

Schritt 3. Um (2) zu beweisen, genügt es zu beweisen

$$(1+t)^a\leq 1+t^a,\quad\text{ where $0<t<1$} \tag{3}$$

Nun die Ableitung der Funktion$f(t)=1+t^a-(1+t)^a$wird von gegeben$f'(t) = a(t^{a-1} - (1+t)^{a-1})$und seitdem ist es positiv$a>0$Und$t\mapsto t^b$nimmt für negativ ab$b$. Somit,$f(t)\geq f(0)=0$für$0<t<1$, was (3) beweist.

Ich glaube nicht, dass Sie die Ungleichheit beweisen müssen, die Sie in der Frage haben. das ist etwas zu stark. Beachten Sie, dass$\{x_n\}\in\ell_p$dann und nur dann, wenn$\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$ist endlich, genau dann$\sum|x_n|^p\lt\infty$. Also musst du das wirklich nur zeigen, wenn$\sum|x_n|^p$ist dann endlich$\sum|x_n|^q$ist endlich, vorausgesetzt$p\leq q$.

Sie möchten sich an zwei Dinge erinnern:

1. Wenn$p\leq q$, dann für$|x|>1$du hast$|x|^p\leq|x|^q$, aber falls$|x|<1$, Dann$|x|^p \geq |x|^q$.
2. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$konvergiert genau dann wenn für alle$m\geq 1$,$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$konvergiert.

Der$\boldsymbol{\ell^{2^m}}$Norm ist weniger als die$\boldsymbol{\ell^1}$Norm

Annehmen$b_k\ge0$,

$$\begin{align} \left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^2 &=\sum_{k=1}^nb_k^2+2\!\!\!\sum_{\substack{j,k=1\\j\lt k}}^n\!\!b_jb_k\\ &\ge\sum_{k=1}^nb_k^2\tag1 \end{align}$$ Also haben wir das per Induktion $$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{2^m}\ge\sum_{k=1}^nb_k^{2^m}\tag2$$

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Interpolieren

Für$1\lt r\lt2^m$,

$$\begin{align} \sum_{k=1}^nb_k^r &=\sum_{k=1}^n\left(b_k^{2^m}\right)^{\frac{r-1}{2^m-1}}b_k^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag3\\ &\le\left(\sum_{k=1}^nb_k^{2^m}\right)^{\frac{r-1}{2^m-1}}\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag4\\ &\le\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{2^m\frac{r-1}{2^m-1}}\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag5\\ &=\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^r\tag6 \end{align}$$ Erläuterung:
$(3)$:$r=2^m\frac{r-1}{2^m-1}+\frac{2^m-r}{2^m-1}$
$(4)$: Hölder
$(5)$: Ungleichheit$(2)$
$(6)$:$r=2^m\frac{r-1}{2^m-1}+\frac{2^m-r}{2^m-1}$

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Gelten$\boldsymbol{\ell^p}$Und$\boldsymbol{\ell^q}$

Lassen$r=\frac qp$, Und$b_k=a_k^p$, Dann$(6)$sagt

$$\sum_{k=1}^na_k^q\le\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{q/p}\tag7$$ was äquivalent ist $$\left(\sum_{k=1}^na_k^q\right)^{1/q}\le\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\tag8$$

Lassen$|x_i|^p=a_i$Und$\frac{q}{p}=k$.

Daher,$k\geq1$und das müssen wir beweisen:

$$(a_1+a_2+...+a_n)^k\geq a_1^k+a_2^k+...+a_n^k.$$ Nun lass$a_1\geq a_2\geq...\geq a_n$.

Somit seit$f(x)=x^k$ist eine konvexe Funktion und

$$(a_1+a_2+...+a_n,0,...,0)\succ(a_1,a_2,...,a_n),$$ durch Karamata erhalten wir: $$(a_1+a_2+...+a_n)^k+0^k+...+0^k\geq a_1^k+a_2^k+...+a_n^k,$$ das ist unsere Ungleichheit.

Der Vollständigkeit halber werde ich dies als Antwort hinzufügen (es ist eine leichte Anpassung des Arguments von AD. ):

Für$a\in[0,1]$und alle$y_i\geq 0, i\in\mathbb N$, mit mindestens einem$y_i\neq0$und die Konvention, dass$y^0=1$für alle$y\geq0$,

$$\begin{equation}\label{*}\tag{*}\sum_{i=1}^\infty \frac{y_i^a}{\left(\sum_{j=1}^\infty y_j\right)^a}=\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{y_i}{\sum_{j=1}^\infty y_j}\right)^a\geq \sum_{i=1}^\infty \frac{y_i}{\sum_{j=1}^\infty y_j}=1,\end{equation}$$ wo ich verwendet habe$y^a\geq y$wann immer$y\in[0,1]$Und$a\in[0,1]$. (Dies lässt sich zum Beispiel aus der Konkavität von ableiten$y\mapsto y^a$.)

Für$p=q$, es gibt nichts zu beweisen. Für$1\le p< q\le\infty$Und$x=(x_i)_{i\in\mathbb N}\in \ell^q$, Satz$a\overset{\text{Def.}}=\frac pq\in[0,1]$Und$y_i\overset{\text{Def.}}=\lvert x_i\rvert^q\ge0$. Dann$\eqref{*}$Erträge

$$\begin{equation*} \sum_{i=1}^\infty \lvert x_i\rvert^p\geq\left(\sum_{i=1}^\infty \lvert x_i\rvert^{q}\right)^{\frac pq}, \end{equation*}$$ dh $$\begin{equation*} \lVert x\rVert_{\ell^q}\le\lVert x\rVert_{\ell^p}. \end{equation*}$$