Drehimpulserhaltung von Scheibe und Block

Dieses Problem trat im Jahr 2021 auf F = M A Test, der vor drei Tagen stattfand. Ich habe jedoch Probleme, andere Lösungen zu verstehen.

Genauer Wortlaut des Problems:

"Eine gleichmäßige feste kreisförmige Massescheibe M befindet sich auf einem flachen, reibungsfreien horizontalen Tisch. Der Massenmittelpunkt der Scheibe ist in Ruhe und die Scheibe dreht sich mit Kreisfrequenz ω 0 . Ein Stein, modelliert als Punktobjekt ebenfalls aus Masse M , wird am Rand der Scheibe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Null relativ zum Tisch platziert. Ein in die Scheibe eingebauter Rand zwingt den Stein, mit Reibung entlang der Kante der Scheibe zu gleiten. Nachdem der Stein aufgehört hat, in Bezug auf die Scheibe zu gleiten, wie groß ist die Winkelfrequenz der Drehung der Scheibe und des Steins zusammen?

Gegebene Antwort: ω F = ( 1 / 2 ) ω 0 .

Meine Lösung: Um die Erhaltung des Drehimpulses anzuwenden, brauchen wir einen COR, der konsistent bleibt. Das bedeutet, dass wir während des gesamten Prozesses den Massenmittelpunkt des Systems als unseren COR wählen sollten. Der Anfangsdrehimpuls mit CM=COR wäre ( 1 / 2 + 1 / 4 ) M R 2 ω 0 nach Parallelachsensatz. Und unser endgültiger Drehimpuls mit CM=COR sollte sein ω F M ( R / 2 ) 2 + ( 1 / 2 + 1 / 4 ) M R 2 ω F . Das gibt uns ω F = 3 / 4 ω 0 .

In einigen der Lösungen, die andere Leute gepostet haben, wählen sie jedoch die Mitte der Festplatte als Anfangs-COR und dann das CM als End-COR. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies falsch ist, da der Drehimpuls von COR abhängt.

In den anderen Lösungen, die COR=CM während des gesamten Prozesses beibehalten, sagen sie, dass der anfängliche Drehimpuls ist ICH C e N T e R ω 0 anstatt ICH C M ω 0 . Sollte der Drehimpuls nicht mit dem Trägheitsmoment des COR als Zentrum berechnet werden?

Bisher habe ich keine Ahnung, was an meiner Lösung konzeptionell falsch ist, daher sind alle Erkenntnisse willkommen.

Antworten (5)

Dieses Problem unterscheidet sich wesentlich von vielen ähnlichen Lehrbuchproblemen, die sich mit der Erhaltung des Drehimpulses befassen.

Bei vielen Lehrbuchaufgaben ist die Rotationsachse der Scheibe um ihren Massenmittelpunkt (CM) durch eine einschränkende Kraft/Drehmoment fixiert und bewegt sich nicht. Wenn das hier der Fall wäre, würde sich die Rotationsachse nicht bewegen, wenn der Stein auf die Scheibe gelegt (und bewegt) wird. Das Problem würde unter Berücksichtigung des Drehimpulses der Scheibe / des Steins um die feste Rotationsachse angegangen.

Hier liegt die Scheibe auf einem reibungsfreien Tisch und ihre Rotationsachse kann sich bewegen, steht aber immer senkrecht zur Tischoberfläche. Das Problem lässt sich am besten unter Berücksichtigung des Drehimpulses um den Massenmittelpunkt des Systems Scheibe/Stein beurteilen. Bezeichne den Massenschwerpunkt des Systems aus Scheibe und Stein als CMS (Center of Mass of System). Aufgrund der Impulserhaltung bewegt sich das CMS nicht. Um CMS fixiert zu halten, während sich der Stein bewegt (auf der Scheibe dreht), bewegt sich das CM der Scheibe und dreht sich um das CMS. Außerdem dreht sich die Scheibe um ihr eigenes CM, und der Stein dreht sich um das CMS. Der Drehimpuls bleibt erhalten. Die Gesamtbewegung wird in einer früheren Antwort von @ytlu quantifiziert.

Ein konzeptioneller Fehler: Das Parallelachsentheorem wird verwendet, um das Trägheitsmoment um eine rotierende Achse zu finden , die nicht das CM ist. Bei diesem Problem dreht sich die Scheibe nicht um das CM (für das Rock-and-Disc-Gelenksystem), sondern dreht sich um die Mitte der Scheibe.

Daher sollte daran gedacht werden, die Bewegung in eine Bewegung der Mitte der Scheibe um das CM und die Drehung um die Mitte der Scheibe zu zerlegen.

L D ich S C − T Ö T A l = L D ich S C − A R Ö u N D − C M + L D ich S C − R Ö T A T ich Ö N − A R Ö u N D − D ich S C − C e N T e R .

Daher bewegen sich Stein und Scheibe am Anfang beide nicht bzgl. des CM (zwischen Stein und Mitte der Scheibe:

L ich = 0 + 0 + 1 2 M R 2 ω 0 .

In der Endbewegung dreht sich der Stein um das CM und das Scheibenzentrum dreht sich ebenfalls um das CM, um den Massenschwerpunkt festzuhalten. Außerdem hat die Scheibe eine zusätzliche Drehung um das Scheibenzentrum. Alle diese Rotationen haben die gleiche Frequenz ω F zur Synchronisierung.

L F = L R Ö C k + L D ich S C = L R Ö C k + ( L D ich S C − C e N T e R + L D ich S k − R Ö T A T ich Ö N ) , = 1 4 M R 2 ω F + ( 1 4 M R 2 ω F + 1 2 M R 2 ω F ) = M R 2 ω F .

Dann bewerben L ich = L F , rendern

ω F = 1 2 ω 0 .

Hervorragende Erklärung!
Im Gegensatz zu vielen Lehrbuchproblemen ist die Rotationsachse der Scheibe um ihren CM nicht eingeschränkt und bewegt sich. Ich habe eine kurze Antwort hinzugefügt, um darauf hinzuweisen.

Um die Erhaltung des Drehimpulses anwenden zu können, benötigen wir einen COR, der konsistent bleibt.

Ich stimme zu, dass dies so zu sein scheint , als ob es wahr sein sollte, aber in Wirklichkeit ist es nicht das, was die Erhaltung des Drehimpulses ist. Das Drehimpulserhaltungsgesetz besagt, dass keine Änderung des Drehimpulses auftritt, wenn kein äußeres Drehmoment auf einen Körper wirkt.

Wenn Sie sich das Objekt (Stein-Scheibe-System) ansehen, führen Sie, wenn Sie einen beliebigen nicht festen Punkt wählen, einen linearen Impuls in die Gleichung ein, was Sie nicht kostenlos tun können (dh ohne vom Drehimpuls abzuziehen).

Ich folge Ihrer Logik im ersten Absatz nicht, könnten Sie sie näher erläutern? Der Drehimpuls bleibt definitiv erhalten, ändert sich aber dennoch mit COR. Nehmen Sie als Analogie den linearen Impuls. Der lineare Impuls bleibt in jedem Trägheitsrahmen erhalten, wenn keine äußeren Kräfte vorhanden sind, der lineare Impuls zwischen zwei Trägheitsrahmen jedoch nicht gleich ist (dh ein Rahmen mit v = 0 m / s und ein Rahmen mit v = 100 m / s). Ich stimme dem zweiten Absatz zu, der COR muss träge sein, um die Erhaltung des linearen Impulses anzuwenden. Deshalb wähle ich das CM, um meinen linearen Impuls zu berechnen.

Um die Erhaltung des Drehimpulses anwenden zu können, benötigen wir einen COR, der konsistent bleibt

Wie Senor o geantwortet hat, ist dies nicht wahr. Die einzige Bedingung für die Erhaltung des Drehimpulses ist, dass kein externes Drehmoment vorhanden sein sollte.

Dieser konzeptionelle Fehler hat Sie dazu gebracht, Folgendes zu sagen:

Der Anfangsdrehimpuls mit CM=COR wäre ( 1 / 2 + 1 / 4 ) M R 2 ω 0

Was Sie hier gemacht haben, ist ein berechneter Drehimpuls um eine Achse, um die sich die Scheibe nicht einmal dreht, das sollte Ihnen falsch erscheinen. Der ICH in der Drehimpulsformel ICH ω ist das Trägheitsmoment um die Rotationsachse. Nicht die Achse der zukünftigen Rotation.

Sollte der Drehimpuls nicht mit dem Trägheitsmoment des COR als Zentrum berechnet werden?

Ich verstehe diese Aussage nicht ganz, gibt es noch Rückfragen?

Ja, ich sehe, wo ich Fehler bei der Berechnung des Anfangsdrehimpulses gemacht habe. Aber wie sollen wir nun den Drehimpuls einer Drehachse dem Drehimpuls einer anderen Drehachse gleichsetzen? Ich denke, diese Frage hat mich dazu gebracht, meinen konzeptionellen Fehler zu machen. Diese beiden Drehimpulse gleichzusetzen, erscheint mir falsch, da die gleiche Analogie, die auf den linearen Impuls angewendet wird, auch nicht zutrifft.
Die Rotationsachse muss nicht dieselbe sein, damit der Drehimpuls erhalten bleibt. Nehmen Sie zum Beispiel eine sich drehende Scheibe und schicken Sie sie in den Weltraum, die Achse bewegt sich kontinuierlich. Würden Sie immer noch sagen, dass der Drehimpuls nicht erhalten bleibt? Physik kann manchmal ziemlich unintuitiv sein. Ihre Analogie zum linearen Impuls sagt mir, dass Sie den Drehimpuls als idealen Vektor behandeln. Es ist nicht. Mehr dazu.

Genauer Wortlaut des Problems:

"Eine gleichmäßige feste kreisförmige Massescheibe M befindet sich auf einem flachen, reibungsfreien horizontalen Tisch. Der Massenmittelpunkt der Scheibe ist in Ruhe und die Scheibe dreht sich mit Kreisfrequenz ω 0 . Ein Stein, modelliert als Punktobjekt ebenfalls aus Masse M , wird am Rand der Scheibe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Null relativ zum Tisch platziert. Ein in die Scheibe eingebauter Rand zwingt den Stein, mit Reibung entlang der Kante der Scheibe zu gleiten. Nachdem der Stein aufgehört hat, in Bezug auf die Scheibe zu gleiten, wie groß ist die Winkelfrequenz der Drehung der Scheibe und des Steins zusammen?

Ich stimme Ihnen natürlich zu, dass sich das kombinierte Objekt im Endzustand um das gemeinsame Massenzentrum dreht.

Ich wiederhole das Problem wie folgt: Anfangs gleitet der Stein reibungsfrei am Rand entlang. Dann trifft es auf einen Anschlag und es kommt zu einem sofortigen unelastischen Stoß.

Das heißt, ich behaupte ausdrücklich, dass es am Ergebnis nichts ändert, ob es eine Reibungsphase gibt oder nicht. (Ich vermute, Sie gehen implizit bereits so vor.)


Im Ausgangszustand ist der Stein in Bezug auf das Koordinatensystem stationär, hat also in Bezug auf jeden Punkt dieses Koordinatensystems einen Drehimpuls von Null.

In dem Moment, in dem der augenblickliche inelastische Stoß auftritt, erfahren beide Objekte eine symmetrische Verschiebung ihrer Winkelgeschwindigkeitsachsen.

Wir können die anfängliche Winkelgeschwindigkeit des Steins als eine Winkelgeschwindigkeit von Null um seinen eigenen Massenmittelpunkt behandeln.

Im Kollisionszeitpunkt verschieben sich beide Achsen aufeinander zu, so dass im Endzustand beide Achsen zusammenfallen.


Also: Mein Vorschlag ist, Symmetrie zu nutzen. Behandeln Sie das Problem als ein Problem mit anfänglich zwei Rotationsachsen. Beide Rotationsachsen verschieben sich aufeinander zu und kommen zur Deckung. Während dieser Rotationsachsenverschiebung üben die beiden Objekte ein Drehmoment aufeinander aus. Grundsätzlich gilt: Um das CCM herum sind diese beiden Drehmomente gleich und entgegengesetzt.

Umgekehrt wäre es sehr schwierig, der Scheibe einen Drehimpuls um den zukünftigen gemeinsamen Schwerpunkt zuzuordnen, da sich die Scheibe im Ausgangszustand nicht wirklich um diese Achse dreht. Diese beiden Achsen haben relativ zueinander eine momentane Geschwindigkeit, die berücksichtigt werden müsste.

Drehimpulserhaltung von Scheibe und Block
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