Eine einfache Erklärung von konformen Blöcken

Jetzt, da wir die Perspektive eines Physikers haben, fühle ich mich nicht allzu schlecht darin, winkeltreue Blöcke aus der Sicht eines Mathematikers zu skizzieren. Vermutlich gibt es ein Wörterbuch, das die beiden Welten verbindet, aber ich verstehe die Physik nicht gut genug, um zusammenhängende Sätze darüber zu sagen. Ich entschuldige mich im Voraus für etwaige Verwirrung - dies ist kein sehr langweiliges Thema.

Ich nähere mich winkeltreuen Blöcken vom Standpunkt winkeltreuer Scheitelpunktalgebren, die in der Mathematik typischerweise als algebraische Strukturen erscheinen, die Sie verwenden können, um Theoreme in der Darstellungstheorie zu beweisen. Scheitelpunktalgebren sind Vektorräume$V$ausgestattet mit einer "Multiplikation mit Singularitäten"$V \otimes V \to V((z))$das eine bestmögliche Anstrengung bei der Multiplikation von Quantenfeldern codiert (die manchmal als "operatorwertige Verteilungen" bezeichnet werden). Linke Multiplikation mit einem Element$u$ergibt eine formale Potenzreihe$\sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n z^{-n-1}$deren Koeffizienten Operatoren sind. Um eine Scheitelpunktalgebra konform zu machen, muss ein ausgezeichneter Vektor gewählt werden$\omega$deren entsprechende Operatoren eine Wirkung der Virasoro-Algebra erzeugen, die eine zentrale Erweiterung der komplexen Lie-Algebra polynomialer Vektorfelder auf dem Kreis ist. Sie verlieren konzeptionell nicht viel, wenn Sie sich Virasoro als den Berührungsraum der Gruppe vorstellen$Diff(S^1)$bei der Identität, aber es gibt eine Anomalie "Zentralladung ungleich Null", die die zentrale Erweiterung erforderlich machen kann. Der Kreis wird hier angezeigt, weil es die Grenze einer Punktion ist, wo wir ein Feld einfügen werden.

Mein Verständnis der physikalischen Interpretation ist das folgende unvollständige und möglicherweise falsche Bild: Innerhalb einer 2D-konformen Feldtheorie gibt es eine Algebra von (z. Der Zustandsraum in der Theorie zerfällt in eine Menge von "Sektoren", die Module der Scheitelpunktalgebra sind. Wenn wir eine Riemann-Fläche wählen (die in den meisten Lehrbüchern eine Kugel ist) und Zustände aus verschiedenen Sektoren an eine Reihe von unterschiedlichen Punkten anhängen, sollten wir eine Reihe von Amplituden erhalten, die Werte von chiralen Korrelationsfunktionen sind, die diesen Eingabedaten zugeordnet sind. Ich habe gehört, dass es einen Weg gibt, vom chiralen Zeug zur eigentlichen konformen Feldtheorie überzugehen, wo die Mehrdeutigkeit in den Korrelatoren verschwindet und man ehrliche Korrelationsfunktionen erhält, aber ich habe es nicht in der mathematischen Literatur gesehen. In jedem Fall leben konforme Blöcke in dieser Maschine - gegebene Sektoren, die an Punkten auf einer Riemann-Oberfläche befestigt sind, ist ein konformer Block ein Gerät, das die Auswahl von Zuständen in diesen Sektoren frisst und Werte von Korrelationsfunktionen in einer Weise ausgibt, die mit den chiralen Symmetrien übereinstimmt .

Hier ist eine Skizze der mathematischen Konstruktion, die von Edward Frenkel stammt (und in seinem Buch Vertex Algebras and Algebraic Curves mit David Ben-Zvi ausführlicher beschrieben wird ): Es gibt eine "positive Hälfte" der Virasoro-Algebra, die von Generatoren aufgespannt wird$-z^n\frac{d}{dz}$zum$n \geq 0$, und es erzeugt die Lie-Algebra von Ableitungen auf der infinitesimalen komplexen Scheibe und wirkt auch auf die konforme Scheitelpunktalgebra$V$. Wir können diese Aktion verwenden, um ein Vektorbündel zu konstruieren$\mathscr{V}$mit flacher Verbindung auf unserer Riemann-Oberfläche der Wahl durch die Gelfand-Kazhdan-Methode der "formalen Geometrie" (die ich nicht beschreiben werde). Bei Reifenpannen$p_1, \dots, p_n$, man konstruiert, aus dem De Rham-Komplex von$\mathscr{V}$, eine Lie-Algebra$L$das wirkt natürlich auf$n$-Tupel von$V$-Module. Gegeben$V$-Module$M_i$an Punkten befestigt$p_i$, ein konformer Block ist an$L$-Modulkarte aus$\bigotimes M_i$zum trivialen Modul.

Es ist im Allgemeinen ziemlich schwierig, irgendwelche expliziten Berechnungen mit winkeltreuen Blöcken durchzuführen, wegen der Menge an beteiligter Geometrie. Wenn Ihre Riemann-Fläche Griffe hat, müssen Sie sich mit einer Auswahl komplexer Strukturen auseinandersetzen, und wenn sie viele Punkte hat, müssen Sie sich mit einem komplizierten Konfigurationsraum von Punkten auseinandersetzen. Normalerweise sehen Sie Diagramme auf Baumebene mit 4 Eingaben, weil:

1. Hier erscheint das absolute Minimum an Geometrie - da die Automorphismengruppe der komplexen projektiven Linie dreifach transitiv ist, ist der Konfigurationsraum von vier Punkten eine dreifach punktierte Linie (womit ich eine Kugel meine).
2. Je nach gewünschtem Detaillierungsgrad ist es oft alles, was Sie brauchen - die Zwischenräume von Blöcken können zusammengesetzt werden, indem Flächen aus Hosen zusammengeklebt und Summen über Sektoren genommen werden, in denen das Nähen stattfindet. Im komplexen algebrogeometrischen Bild bedeutet dieses Nähen, Kugeln an Punkten quer zusammenzukleben, um eine Knotenkurve zu erhalten. Man verformt sich dann, um eine glatte komplexe Kurve zu erhalten, und führt einen parallelen Transport entlang des entsprechenden Pfads im Modulraum der markierten Kurven durch. Die Vierpunktkonfiguration ist eine Situation, in der Sie genau einen Nähvorgang haben (und die andere solche Situation ist ein durchstochener Torus, der wichtig ist, um Zeichen zu erhalten).

Tatsächlich erhält man, wenn die konforme Feldtheorie angemessen brav ist (sprich: rational), die Dimensionen der Räume aller konformen Blöcke nur aus den Dimensionen der Dreipunkt-Gattung-Null-Blöcke, die auch als Strukturkonstanten der Fusionsalgebra bekannt sind. Das sieht man zum Beispiel an der Verlinde-Formel.

Ich denke, Beispiele für konforme Blöcke haben eine gewisse notwendige Komplexität, aber hier ist ein Überblick über einen einigermaßen einfachen Fall, der durch das WZW-Modell motiviert ist. Wählen Sie eine einfache Lie-Gruppe aus, z$SU(2)$, und eine Ebene$\ell$(was wir als positive ganze Zahl ansehen können). Man konstruiert die Eckenalgebra und ihre Module als Ebene$\ell$integrierbare Darstellungen der affinen Kac-Moody-Lie-Algebra$\hat{\mathfrak{sl}_2}$, die eine zentrale Erweiterung der Schleifenalgebra der Komplexifizierung der Lie-Algebra ist$\mathfrak{su}_2$. Wenn wir eine Riemann-Fläche (z. B. eine Kugel) wählen und Punkte nur mit dem Vakuummodul dekorieren, erhalten wir einen Raum aus konformen Blöcken, der der Raum globaler Abschnitte eines bestimmten Linienbündels ist$L_G^{\otimes \ell}$auf dem Modulraum von$SU(2)$Bündel auf der Oberfläche. Hier$L_G$ist der reichliche Generator der Picard-Gruppe des Modulraums.

Ich habe ein bisschen darüber gelesen, und es stellt sich heraus, dass konforme Blöcke für meine Forschung tatsächlich ziemlich relevant sind! Also dachte ich, es wäre die Zeit wert, etwas genauer nachzuforschen. Ich habe die konforme Feldtheorie nie formell studiert, aber ich hoffe, ich schreibe hier nichts völlig Falsches. (Ich habe meinen ersten Entwurf verloren und musste ihn rekonstruieren, weshalb es so lange gedauert hat)

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In der konformen Feldtheorie ist es üblich, Koordinaten in einem zweidimensionalen Raum durch Verwendung komplexer Zahlen darzustellen, also$\vec{r} = (x,y)$wird$\rho = x + iy$. In dieser Notation ist die Theorie unter der Wirkung einer Möbius-Transformation (auch bekannt als konforme Transformation) unveränderlich.

$$\rho \to \frac{a\rho + b}{c\rho + d}$$

in welchem$a$,$b$,$c$, und$d$sind komplexe Konstanten, die erfüllen$ad - bc \neq 0$. Die Transformation hat drei komplexe Freiheitsgrade - mit anderen Worten, wenn Sie drei Anfangspunkte und drei Endpunkte auf der komplexen Ebene angeben, gibt es eine einzigartige Möbius-Transformation, die diese drei Anfangspunkte auf die drei Endpunkte abbildet.

Also jede Funktion von vier Koordinaten in der Ebene, zum Beispiel eine Vierpunkt-Korrelationsfunktion von Quantenfeldern,

$$G_4 = \langle \phi_1(\rho_1,\rho_1^*) \phi_2(\rho_2,\rho_2^*) \phi_3(\rho_3,\rho_3^*) \phi_4(\rho_4,\rho_4^*) \rangle$$

hat nur einen echten Freiheitsgrad, nachdem Sie die Eichfreiheiten entsprechend der Möbius-Transformation herausgerechnet haben. Mit anderen Worten, Sie können drei beliebige dieser Koordinaten auf drei feste Referenzpunkte abbilden (z$0$,$1$, und$\infty$), und Sie haben eine Funktion mit nur einer Variablen, so etwas wie

$$x = \frac{(\rho_4 - \rho_2)(\rho_3 - \rho_1)}{(\rho_4 - \rho_1)(\rho_3 - \rho_2)}$$

Dies öffnet die Tür zum Schreiben$G_4$als einfache Funktion dieses einen Verhältnisses (zumindest einfacher als eine Funktion von vier unabhängigen Koordinaten).

Der spezielle Teil von CFT, in dem konforme Blöcke angewendet werden (soweit ich das beurteilen kann; ich fange hier an, ein wenig aus der Tiefe zu geraten) hat mit Virasoro-Algebren zu tun. Genauer gesagt die Art und Weise der einzelnen Felder$\phi_i$Transformation unter einer konformen Transformation wird durch die Gruppe beschrieben, die durch die Virasoro-Algebra definiert ist. Die Vierpunktfunktion$G_4$kann als Summe von Beiträgen verschiedener Repräsentationen der Gruppe geschrieben werden,

$$G_4(\rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4) = \sum_l G_l f(D_l, d_i, C, x) f(D_l, d_i, C, x^*)$$

Hier$l$indiziert die verschiedenen Darstellungen;$C$ist eine Konstante (die "zentrale Ladung" der Virasoro-Algebra); und$d_i$und$D_l$sind anomale Dimensionen der externen Felder bzw. des internen Felds. Die Funktion$f$heißt konformer Block.

$f$ist nützlich, weil es berechnet werden kann (im Prinzip oder in der Praxis, ich bin mir nicht sicher, welches), indem nur Informationen über eine einzelne Darstellung der Virasoro-Gruppe verwendet werden. Es kann als Reihe in ausgedrückt werden$x$bekannter Form, deren Koeffizienten von der Struktur der Gruppe abhängen.

Weiterführende Lektüre

1. Belavin A. Unendliche konforme Symmetrie in der zweidimensionalen Quantenfeldtheorie. Kernphysik B . 1984;241(2):333-380. Verfügbar unter: https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X .
2. Zamolodchikov AB. Konforme Symmetrie in zwei Dimensionen: eine explizite Rekursionsformel für die konforme Partialwellenamplitude. Kommunikation in der mathematischen Physik (1965-1997) . 1984;96(3):419-422. Verfügbar unter: https://doi.org/10.1007/BF01214585 .
3. Zamolodchikov AB. Konforme Symmetrie im zweidimensionalen Raum: Rekursionsdarstellung des konformen Blocks . Theoretische und Mathematische Physik . 1987;73(1):1088-1093. Verfügbar unter: https://doi.org/10.1007/BF01022967 .

und natürlich das Buch von DiFrancesco et al.

Es gibt bereits nette Antworten sowohl aus physikalischer als auch aus mathematischer Sicht, die die Grundidee erklären - angesichts der Algebra der holomorphen Operatoren (oder äquivalent der Symmetriealgebra) einer CFT können wir eine Sammlung von Gleichungen (die Ward-Identitäten) aufschreiben, die die Zustandssumme der Theorie muss auf jeder Riemannschen Fläche genügen. Der Raum der Lösungen dieser Gleichungen ist der Raum der konformen Blöcke. Wenn wir tatsächlich eine vollständige CFT haben, ist die Partitionsfunktion ein bestimmter konformer Block. Aber bei jedem konformen Block können wir immer noch Korrelationsfunktionen auf der Riemann-Oberfläche verstehen und so einen Großteil der Feldtheorie durchführen.

Es gibt eine Menge mathematischer Arbeiten zur Erweiterung einer chiralen Algebra zu einer vollständigen CFT, insbesondere im rationalen Fall (wie Scott betonte, ist dies ein zentraler Schwerpunkt des erweiterten Oeuvres von Fuchs, Schweigert, Runkel und Mitarbeitern). Dies beinhaltet das Auffinden einer modularen invarianten Kombination von Modulen für die chirale Algebra und kann auf das Auffinden spezieller Module (Frobenius-Algebra-Objekte in der geflochtenen Tensorkategorie von Modulen mit einigen Bedingungen) reduziert werden. Im irrationalen Fall steckt diese Theorie wirklich in den Kinderschuhen - es gibt eine Vorstellung davon, was Branes sein sollten, aber es gibt keine vollständige Strukturtheorie.

Ich denke, ein sehr aufschlussreicher Standpunkt zu konformen Blöcken ergibt sich aus der Idee, dass eine chirale CFT eher einer dreidimensionalen [topologischen] Quantenfeldtheorie ähnelt als einer ehrlichen CFT (und dies kann im rationalen Fall präzisiert werden, siehe zB das Buch von Bakalov-Kirillov). Aus dieser Sicht haben wir eine 3D-QFT, die auf gekrümmten Hintergründen sinnvoll ist (tatsächlich topologisch invariant), sodass wir einen Hilbert-Zustandsraum zuweisen können, indem wir die Theorie auf einer Riemann-Oberfläche mal R quantisieren. Dieser Zustandsraum ist der Raum konformer Blöcke. Allgemeiner können wir in dieser dreidimensionalen Theorie Linienoperatoren betrachten, das heißt, wir können Operatoren an Punkten der Riemannschen Flächenzeiten R einfügen. Diese Operatoren entsprechen Modulen für die chirale Algebra, und der resultierende Hilbert-Raum ist der Raum von konformen Blöcken mit Moduleinfügungen. Wenn wir eine nicht-rationale CFT haben, erhalten wir keine vollständige topologische 3D-QFT, aber wir können immer noch Hilbert-Räume zu Riemann-Flächen oder Flächen mit Moduleinfügungen zuweisen, also konforme Blöcke. (In einer vollwertigen Theorie würden diese Vektorräume durch die wohldefinierte Spur des Hamilton-Operators, der in einer topologischen Theorie Null ist, auf eine endliche Dimension gezwungen).

Eine konforme Feldtheorie ist eine Quantenfeldtheorie, die unter konformen Transformationen invariant ist. Aufgrund dieser Invarianz müssen Korrelationsfunktionen linearen Gleichungen gehorchen, die als konforme Ward-Identitäten bezeichnet werden. Konforme Blöcke sind nicht nur Lösungen der konformen Ward-Identitäten, sondern tatsächlich Elemente einer bestimmten Lösungsbasis. Konzentrieren wir uns auf die zweidimensionale CFT. In zwei Dimensionen werden konforme Transformationen durch zwei Virasoro-Algebren beschrieben, die als linksbewegend (oder holomorph) und rechtsbewegend (oder antiholomorph) bezeichnet werden.

Die Frage wurde in Bezug auf formuliert$n$-Punkt-konforme Blöcke auf der komplexen Ebene, aber es ist technisch einfacher, zuerst nullpunktkonforme Blöcke auf dem Torus zu betrachten . Dies sind nur Zeichen von Darstellungen der Virasoro-Algebra. Angenommen, Sie möchten eine Torus-Nullpunktfunktion (Teilungsfunktion) berechnen.

$$Z = \mathrm{Tr}_S q^{E} \bar{q}^{\bar{E}}$$ wo $q$ist der (exponentierte) Modul des Torus, $E$und $\bar{E}$sind die Energieoperatoren, die jeweils den links- und rechtsbewegten Virasoro-Algebren zugeordnet sind, und $S$ist der Zustandsraum Ihrer CFT. Der Zustandsraum kann in Darstellungen der Virasoro-Algebren zerlegt werden, $$S = \bigoplus_{R, \bar{R}} m_{R,\bar{R}} R\otimes \bar{R}$$ wo $R, \bar{R}$sind Darstellungen unserer beiden Virasoro-Algebren und der ganzen Zahlen $m_{R,\bar{R}}$sind ihre Mannigfaltigkeiten. Dann Berechnung der Spur über $S$reduziert sich auf das Summieren über Zustände in jeder Darstellung $R$oder $\bar{R}$, und eine solche Summe ist per Definition ein Charakter $$\chi_R(q) = \mathrm{Tr}_R q^{E} = \sum_L q^{E(L)}$$ wo $L$beschriftet eine orthonormale Basis von $R$, bestehend aus Eigenvektoren von $E$. Also erhalten wir $$Z = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}(\bar{q})$$ Dies ist die konforme Blockzerlegung von $Z$: die konformen Blöcke $\chi_R(q)$, $\chi_{\bar{R}}(\bar{q})$sind lokal holomorphe Funktionen von $q$und $\bar{q}$, sie sind vollständig durch konforme Symmetrie bestimmt , und sie sind durch Darstellungen der Symmetriealgebra parametrisiert. Andererseits die Multiplizitäten $m_{R,\bar{R}}$bleiben durch die Symmetrie unbestimmt.

Die gleichen Ideen gelten für die Kugel-Vierpunktfunktion . Eine Vierpunktfunktion kann durch Einfügen eines Identitätsoperators in Produkte von Dreipunktfunktionen zerlegt werden, und wir erhalten schematisch

$$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \sum_{L,\bar{L}} \left< V_1V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right> \left< (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \middle| V_3V_4\right>$$ Nun stellt sich heraus, dass es sich um eine Dreipunktfunktion handelt $\left< V_1 V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right>$, wird durch winkeltreue Symmetrie bis auf einen Faktor bestimmt $C_{1,2,(R,\bar{R})}$, die von keinem abhängt $z_i,\bar{z}_i$auch nicht an $L,\bar{L}$, und wir haben $$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} C_{1,2,(R,\bar{R})} C_{(R, \bar{R}), 3,4} F_R(z_i) F_{\bar{R}}(\bar{z}_i)$$ Der konforme Vierpunktblock $F_R(z_i)= \sum_L \cdots$ist vollständig durch konforme Symmetrie bestimmt. Es hängt von allen Parametern ab, die sich nach links bewegen: den Positionen $z_i$, das $s$-Kanaldarstellung $R$, und die sich nach links bewegenden Darstellungen, die den Feldern entsprechen $V_i$. Bis auf triviale Faktoren ist ein winkeltreuer Block mit vier Punkten tatsächlich eine Funktion des Kreuzverhältnisses $z=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}$: Dies ist eine einfache Folge von Ward-Identitäten, die gilt, ob Sie eine lokale oder globale konforme Symmetrie haben. Ein konformer Block gehorcht im Allgemeinen keiner Differentialgleichung in $z$. Es gehorcht einer Belavin-Polyakov-Zamolodchikov-Gleichung nur dann, wenn mindestens eines der Felder $V_i$ist ein sogenanntes entartetes Feld.

Konforme Blöcke sind nützlich, weil sie universelle Größen sind , in dem Sinne, dass sie durch konforme Symmetrie bestimmt werden. Um Korrelationsfunktionen in einem bestimmten Modell zu bestimmen, müssen nur noch modellabhängige Größen wie die Multiplizitäten berechnet werden$m_{R,\bar{R}}$und die Faktoren$C_{1,2,(R,\bar{R})}$. Diese modellabhängigen Größen sind einfacher als die Korrelationsfunktionen, insbesondere hängen sie typischerweise von weniger Parametern ab.

Weitere Einzelheiten in dieser Richtung finden Sie in meinem Übersichtsartikel .

Die konforme Feldtheorie ist die Theorie der Skaleninvarianz (oder des Verhaltens großer Ordnung) in zwei Dimensionen. Skalierung bedeutet nur Abhängigkeit von Winkeln. In 2d ist die Gruppe von winkelerhaltenden (konformen) Transformationen unendlich dimensional, und tatsächlich gibt es in einer 2d-Metrik nach konformen Transformationen und Diffeomorphismen nur eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden. (Die Freiheitsgrade sind der Modulraum der Riemannschen Flächen.)

Felder in einer Theorie mit konformer Symmetrie müssen Darstellungen dieser Symmetriealgebra liefern, und solche Darstellungen werden durch eine Quantenzahl gekennzeichnet, die als konforme Dimension oder Gewicht bezeichnet wird. Die Transformationen selbst sind holomorphe Koordinatenänderungen ($z \rightarrow f(z)$und sie werden durch die Lie-Algebra holomorpher Vektorfelder erzeugt$L_n := -z^{n+1}\partial_z$und ihre komplexen Konjugate. Sie können diese Algebra berechnen:$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$die als Virasoro-Algebra bezeichnet wird. (Es gibt zwei davon, einen mit z und einen mit z-Balken.) Quantenmechanisch kann diese Algebra durch die konforme Anomalie korrigiert werden, die durch die zentrale Ladung parametrisiert ist ("zentral", weil der zusätzliche Term mit allen anderen pendelt).

Nun, genau wie in einer rotationsinvarianten Theorie, wenn Sie wissen wollen, wie eine Lösung nach einer Drehung aussieht, müssen Sie nur wissen, in welcher Darstellung der Zustand liegt, in einer konformen Theorie, wenn Sie die Koordinaten infinitesimal ändern wollen, müssen Sie nur wissen die konformen Gewichte der Felder. Aber solche Transformationen sind infinitesimale Koordinatenänderungen, so dass dies eine Differentialgleichung ergibt, der der Korrelator gehorchen muss. Alles in der Theorie kann in Form von Lösungen dieser Differentialgleichungen geschrieben werden – diese werden als konforme Blöcke bezeichnet . (Es gibt Lösungen in$\bar{z}$, zu.)

Diese Methode ist detailliert in der klassischen Arbeit von Belavin, Polyakov und Zamolodchikov (NPB 241 (1988) S. 333) beschrieben (ein weiterer Pionier ist Knizhnik).

ps Bei der Stringtheorie dreht sich alles um 2D-Feldtheorien und ihre Abhängigkeit von den Moduln von Riemannschen Flächen. Die Bedingung, dass die konforme Theorie anomaliefrei ist, ist die gebräuchlichste Methode zur Ableitung von Dimensionsformeln in der Stringtheorie.