Thermodynamische Grenze "gegenüber" der Methode des steilsten Abstiegs

Lassen Sie mich diese Vorlesungsnotiz als Referenz verwenden .

  • Ich würde gerne wissen, wie oben der Ausdruck (14) aus dem Ausdruck (12) erhalten wurde.

In gewisser Weise ergibt es einen intuitiven Sinn, aber ich würde gerne die Details darüber erfahren, was zwischen diesen beiden Gleichungen passiert ist. Der Punkt ist, dass, wenn es keinen Gesamtfaktor von " N " in Gleichung (12), dann wäre es ein "Lehrbuch"-Fall, die "Methode des steilsten Abstiegs" in der asymptotischen Grenze von "N" anzuwenden.

  • Ich frage mich, ob es dazwischen ein ungeschriebenes Argument gibt, dass man in der "großen N"-Grenze das absorbiert N in ein neu (un?) definiertes Maß und dann den steilsten Abfall nur auf dem exponentiellen Teil des Integranden durchführen.

    Ich weiß nicht, wie die "Methode des steilsten Abstiegs" für den gesamten Integranden durchgeführt werden soll, wenn das Maß nicht neu definiert würde.

  • Aber noch einmal, wenn so etwas gemacht wird, warum gibt es dann ein Näherungssymbol in Gleichung (14)?

Nach dem Nehmen der thermodynamischen Grenze und dem steilsten Abstieg sollte die Gleichung (14) nicht eine Gleichheit mit einer Summe über alle werden μ S was löst Gleichung (15)?

Obwohl der Ausdruck (12) für mich naiv für eine Dirac-Delta-Funktionsinterpretation geeigneter erscheint, da er in der "großen N" -Grenze wie die Standarddarstellung der Dirac-Delta-Funktion aussieht, N π e − N 2 X

  • Ich hätte gerne einige Kommentare/Erklärungen zu dieser allgemeinen Philosophie/Beweis, mit denen man sagen will, dass die "Methode des steilsten Abstiegs" im "thermodynamischen Limit" exakt ist.
Kleiner Kommentar zum Beitrag (v2): Bitte denken Sie daran, Autor, Titel etc. des Links explizit anzugeben, damit der Link im Falle einer Linkfäule rekonstruiert werden kann.

Antworten (1)

Dies ist eine einfache Anwendung der Methode des steilsten Abstiegs. Wir haben also das Integral (aus den von Ihnen zitierten Vorlesungen)

Q N = N β J 2 π ∫ − ∞ ∞ D μ e [ N Q ( β J , β B , μ ) ]

Sein

Q ( β J , β B , μ ) = ln ⁡ { 2 cosch ⁡ [ β ( J μ + B ) ] } − β J μ 2 2 .

Jetzt haben Sie, indem Sie die Methode des steilsten Abstiegs auf das Integral anwenden,

∂ Q ∂ μ = β J Tanh ⁡ [ β ( J μ + B ) ] − β J μ = 0.

Lassen Sie uns anrufen μ S die Lösung dieser Gleichung und erweitern das Argument der Exponentialfunktion um diesen Wert. Sie erhalten

Q ( β J , β B , μ ) = Q ( β J , β B , μ S ) − J β 2 [ 1 − J β ( 1 − μ S 2 ) ] ( μ − μ S ) 2 .

Dies zeigt, dass

Q N ≈ e N Q ( β J , β B , μ S ) N β J 2 π ∫ − ∞ ∞ D μ e − N J β 2 [ 1 − J β ( 1 − μ S 2 ) ] ( μ − μ S ) 2

dh

Q N ≈ e N Q ( β J , β B , μ S ) 1 1 − J β ( 1 − μ S 2 )

Notiere dass der N Faktor wird nach der Integration vollständig entfernt und verbleibt nur noch im Argument der Exponentialfunktion. Gl. (16-18) folgen direkt.

Danke für die Antwort, aber ich denke, meine Frage war nicht klar formuliert. Ich kann sehen, was Sie getan haben, ABER ich hätte NICHT gedacht, dass die "Methode des steilsten Abstiegs" funktioniert! Sie scheinen nur eine Taylor-Entwicklung des Exponenten durchzuführen. Der Punkt ist, dass die einzige Art von Analyse des steilsten Abstiegs, die ich gesehen habe, Arbeiten an Integralen der Form ist F ( S ) = ∫ F ( z ) e S G ( z ) D z im großen S Grenze. Dies ist nicht in dieser Standardform. Vielleicht gibt es eine andere Version der "Methode des steilsten Abstiegs", die Sie im Sinn haben, und es wäre großartig, wenn Sie dafür eine Referenz angeben könnten.
Ich möchte auch wissen, wie diese (oder jede gültige Methode des steilsten Abstiegs) in diesem speziellen Beispiel die Grenze "großes N" (thermodynamisch) effektiv erreicht.
@ user6818 : Dies ist Standard-Lehrbuchmaterial. Sie sollten zB Kapitel VIII in diesem schönen Buch lesen .
Aber DIES IST die Methode des steilsten Abstiegs (es wäre besser, sie Laplace zu nennen) und diejenige, die in diesen Vorlesungen angewendet wurde. Zuerst finde ich das Extremum und dann erweitere ich darum herum und das Integral wird zu einem Gaußschen und damit berechenbar. Überprüfen Sie einfach en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_method .
@Jon Okay, lassen Sie es mich so ausdrücken - diese spezielle Version der "Methode des steilsten Abstiegs", die Sie verwenden, entspricht offensichtlich nicht der, die mir aus der Darstellung in dem Buch von Arfken und Weber bekannt ist. Ist das und das, was Sie getan haben, gleichwertig? (.. a priori sehen sie weit voneinander entfernt aus..) Gibt es auch in dem, was Sie tun, einen Sinn, in dem Sie die thermodynamische "große N" -Grenze nehmen? (..In der Arfken-Weber-Denkweise gibt es einen Begriff einer Asymptotik in der Methode des "steilsten Abstiegs", obwohl ich in diesem Laplace-Denken keinen Begriff von Asymptotik sehe..)
@Jon Ein weiterer Punkt, den ich in meiner ursprünglichen Frage gemacht habe, ist, dass diese Analyse wie in meiner verknüpften Datei nur so weit geht, eine Annäherung für das Integral zu erzeugen (genau wie Sie es zu tun scheinen), aber ich denke, die Aussage ist wahr und in meinem verlinkten Artikel auch impliziert ist, dass diese Methode des steilsten Abstiegs im thermodynamischen Limit tatsächlich exakt ist! Das ist die nicht-triviale Idee, für die ich nach einer Erklärung suche.
@Jon Im Wikipedia-Artikel nehmen sie a M → ∞ Grenze – aber warum? Hier liegt ein Großteil der Verwirrung - (1) Warum gibt es ein Näherungssymbol, wenn es eine Asymptotik gibt? Unabhängig von der Asymptotik, die sie in Betracht ziehen, hat Arfen-Webers Version am Ende keine Annäherung. (2) Hätten sie dies auf einem Integral des Formulars tun können ∫ N e N F ( X ) D X ? - wie hier - ist dies meiner Meinung nach konzeptionell anders als eine Annäherung an das Integral ∫ e N F ( X ) D X und dann zu sagen, dass dies einen annullierenden Gesamtfaktor von erzeugt 1 N .
@ user6818: Das Problem ist, dass Sie hier überhaupt keine Ahnung von Mathematik haben. Es ist eine alltägliche Tatsache, dass das Integral eines solchen Exponentials seinen wichtigsten Beitrag dort leistet, wo das Argument des Exponentials ein Extremum hat. Dies ist eine asymptotische Annäherung an das Integral und gilt auch für den oszillierenden Fall (stationäre Phase). Ich fordere Sie auf, ein gutes Buch über asymptotische Näherungen wie amazon.com/Asymptotic-Expansions-Dover-Books-Mathematics/dp/… zu lesen . In diesem speziellen Fall muss nur das Integral ausgewertet werden.
@Jon Ich kann dir nicht zustimmen, dass dies eine Standardfakt ist. Ich habe diese Gleichheit nirgendwo gesehen, wo ich eine Diskussion über die Methode des steilsten Abstiegs gesehen habe. Ich habe verschiedene Leute gefragt - ziemlich brillante Studenten! - um mich herum und auch sie scheinen das nicht zu wissen - obwohl wir alle schon einmal die Methode des steilsten Abstiegs benutzt haben.
Thermodynamische Grenze "gegenüber" der Methode des steilsten Abstiegs
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v