Einen Selbsthomöomorphismus des Zylinders aus einem Selbsthomöomorphismus des Kreises erhalten

Das ist möglich. Lassen$e:\mathbb{R}\to S^1$sei die Deckkarte$e(s)=\exp(2\pi i s)$. Dann können wir heben$f$zu einer Karte$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$so dass$eg=fe$. Die Annahme, dass$f$ein orientierungsbewahrender Homöomorphismus ist, impliziert dies$g$nimmt streng mit zu$g(s+1)=g(s)+1$für alle$s$. Jetzt erhalten wir$F$indem einfach linear dazwischen interpoliert wird$g$und die Identität. Das heißt, wir definieren

$$F(e(s),t)=(e(ts+(1-t)g(s)),t).$$ Es ist leicht zu verifizieren, dass dies ein Homöomorphismus ist; der entscheidende Punkt ist, dass für alle $t$, $h_t(s)=ts+(1-t)g(s)$ist wieder eine streng ansteigende Karte mit $h_t(s+1)=h_t(s)$.

Wenn$f$war also nicht nur ein Homöomorphismus, sondern ein Diffeomorphismus$g$wird ein Diffeomorphismus sein (wie alle maps$h_t$), und das folgt leicht$F$wird auch ein Diffeomorphismus sein.

Dies ist eine Ergänzung zu Eric Wofseys Antwort bezüglich dessen, was in höheren Dimensionen passiert: Angesichts eines orientierungserhaltenden Homöomorphismus (Diffeomorphims)$f: S^n\to S^n$, gibt es einen Homöomorphismus (Diffeomorphismus)

$$F: S^n\times I\to S^n\times I$$ so dass $F(x,0)=(f(x),0), F(x,1)=(x,1)$?

Die Antwort in der Einstellung von Homöomorphismen ist für alle positiv$n$: Jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus$f: S^n\to S^n$ist homotop zur Identität und daher (Alexander et al., siehe diese Mathoverflow-Diskussion ) isotopisch zur Identität. Diese Isotopie$f_t$ergibt einen Homöomorphismus$F(x,t)=(f_t(x),t)$,$S^n\times I\to S^n\times I$.

Bei der Einstellung von Diffeomorphismen ist die Antwort viel interessanter, sie läuft auf die Frage nach der Übereinstimmung von (orientierungserhaltenden) Diffeomorphismen hinaus$S^n\to S^n$zur Identitätskarte. Der Raum der Konkordanzklassen bildet eine abelsche Gruppe, genannt$\Gamma^n$. Diese Gruppe ist für alle trivial$n\le 5$und damit eine diffeomorphe Erweiterung$F: S^n\times I\to S^n\times I$existiert immer in diesem Bereich ($n=1$ist ein ganz besonderer Fall). Allerdings z$n=6$die Gruppe$\Gamma^6$ist nicht trivial und hat die Ordnung 28. Insbesondere gibt es einen Diffeomorphismus$f: S^6\to S^6$wofür ein Diffeomorphismus$F: S^6\times I\to S^6\times I$wie oben gibt es nicht.

Für andere Werte von$n\ge 7$, diese Gruppen sind gut untersucht (Kervaire-Milnor et al), siehe zum Beispiel diesen Wikipedia-Artikel .

Es gibt eine Bijektion (z$n\ne 3$) zwischen$\Gamma^n$und die Gruppe$\Theta_{n+1}$von glatten Strukturen auf$S^{n+1}$(unter der zusammenhängenden Summe). Zum Beispiel die 27 Konkordanzklassen weiter$S^6$entsprechen den 27 exotischen siebendimensionalen Sphären.