Einige Referenzen zu Vladimir Arnolds Diplomarbeit „Mathematik ist ein Teil der Physik“?

Erstens ist die Antwort auf die Frage im engeren Sinne leider negativ, obwohl es einige andere Stellen gibt, an denen Arnold seine Ansichten über Mathematik zum Ausdruck bringt: An apologia for Applied Mathematics in seiner Umfrage von 1996, a short paper The antiscientific revolution und Mathematik , ein Interview mit Liu für Mathematical Notices, eine kurze Notiz Warum studieren wir Mathematik für das russische Bachelor-Physik/Mathematik-Magazin Kvant usw.

Aus diesen lässt sich schließen, dass er sich intensiv mit der gesellschaftlichen Wahrnehmung der Mathematik, der Entwicklung des Mathematikunterrichts, der Ablehnung der „Bourbakisierung“ usw. befasste. Aber keiner von ihnen trägt viel zur These aus der mit OP verknüpften Notiz bei, außer vielleicht zu deuten darauf hin, dass es bewusst polemisch und soziologisch motiviert ist. Beispielsweise schreibt er in der Apologia , dass „ der Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik nicht wissenschaftlicher, sondern nur sozialer Natur ist “, und:

„ Als Ergebnis kam es zu einer Trennung der ‚reinen‘ Mathematik von allen Wissenschaften, zu einem gegen die Gelehrten verbrecherischen System der mathematischen Bildung, und das Bild der Mathematik im allgemeinen Bewusstsein war das einer gefährlichen parasitären Sekte auf dem Körper der Wissenschaft und Technologie, bestehend aus Priestern einer sterbenden Religion wie den Druiden. "

Aus einer breiteren Sicht und abgesehen von Arnolds sozialen Anliegen wird die Haltung teilweise geteilt. Zum Beispiel in Gibt es bekannte Mathematiker, die Arnolds Ansicht über Mathematik als Naturwissenschaft teilten? Newton und Kronecker werden benannt, weil sie etwas vage Ähnliches ausdrücken. Wie wir sehen werden, kann Gauss der Liste hinzugefügt werden. Quine meinte in Two Dogmas , dass Logik und Mathematik eine Art Naturwissenschaft seien, mehr "verwurzelt", aber immer noch revidierbar, basierend auf der Summe von Beobachtungen und Experimenten. Lakatos' Beweise und Widerlegungen assimilieren die Mathematik ausdrücklich mit der "hypothetisch-deduktiven Methode" (der Titel ist eine Anspielung auf Poppers Vermutungen und Widerlegungen). Magidin in Ist Mathematik eine Wissenschaft?schlägt vor, dass die Mathematik „ der wissenschaftlichen Methode folgt “ usw.

Wörtlich genommen ist die These jedoch schwer zu verteidigen. Vielleicht kann die Mathematik der frühen Tage der Infinitesimalrechnung als eine Wissenschaft der kühnen Spekulation und billigen Experimente angesehen werden, aber typische Arbeiten stellen keine Vermutungen dar, die durch Berechnungen und Simulationen bestätigt werden, wie man es erwarten würde, wenn es wahr wäre. Wie Arnolds eigene Veröffentlichungen bestätigen würden, war er sich der einzigartigen Rolle rigoroser Beweise als mathematische Bestätigungen bewusst, die sich von der unterscheidet, die wir in den experimentellen Wissenschaften haben.

Ein Autor, der lange vor Arnold eine nuancierte Version von Arnolds These verteidigt, ist CS Peirce, siehe z. B. seine Philosophie der Mathematik, Abschnitt 10 . Er spricht von Mathematik (und Logik) als Inszenierung "idealer Experimente" an "Diagrammen" (formalen Modellen), aus denen allgemeine Regeln induktiv erahnt werden, und beschreibt die Funktion von Beweisen, die sie als Kontrolle gegen menschliches Versagen verwenden. Mit anderen Worten, sie dienen als zuverlässige Abkürzungen zur Feststellung semantischer Konsequenzen in formalen Modellen. Der Unterschied zur Physik besteht also nicht nur darin, dass die "idealen Experimente" billig sind, sondern auch darin, dass wir die volle Kontrolle über die Bildung ihrer Versuchspersonen haben:

„ Nun ist es offenbar kein wesentlicher Bestandteil dieser Methode im Allgemeinen, dass die Tests durch die Beobachtung natürlicher Objekte durchgeführt wurden Sonderfälle - nur die Tests wurden durch besondere Demonstrationen angewandt. Dies ist immer noch Beobachtung, denn wie der große Mathematiker Gauß erklärt hat - Algebra ist eine Wissenschaft des Auges, nur ist sie Beobachtung künstlicher Objekte und von höchst geheimnisvollem Charakter [ CP 1.34]

Solche Operationen an Diagrammen, ob äußerlich oder imaginär, treten an die Stelle der Experimente mit realen Dingen, die man in der chemischen und physikalischen Forschung durchführt. Chemiker haben hier, ich brauche wohl nicht zu sagen, Experimente als das Stellen von Fragen an die Natur beschrieben. Ebenso sind Experimente an Diagrammen Fragen nach der Natur der betreffenden Beziehungen ... [CP 4.530]

Es ist nicht nur wahr, dass durch Experimentieren mit irgendeinem Diagramm ein experimenteller Beweis für jede notwendige Schlussfolgerung aus jeder gegebenen Kopula von Prämissen erhalten werden kann, sondern darüber hinaus ist keine „notwendige“ Schlussfolgerung mehr apodiktisch als induktive Schlüsse von dem Moment an, wenn Experimente können nach Belieben vervielfacht werden, ohne dass dies mehr kostet als eine Aufforderung an die Vorstellungskraft ... Es ist wahr, dass das, was sein muss, nicht durch einfache Betrachtung von irgendetwas gelernt werden kann. Aber wenn wir davon sprechen, dass deduktives Denken notwendig ist, meinen wir natürlich nicht, dass es unfehlbar ist. Aber genau das meinen wir, dass die Konklusion aus der Form der in der Prämisse dargelegten Relationen folgt. [CP 4.531]

„ Es wäre ein großer Fehler anzunehmen, dass ideale Experimente ohne Fehlergefahr durchgeführt werden können; aber durch die Ausübung von Sorgfalt und Fleiß kann diese Gefahr unbegrenzt verringert werden. Bei vernünftigen Experimenten kann keine Sorgfalt Fehler immer vermeiden ... die notwendige Begründung der Mathematik erfolgt durch Beobachtung und Experiment, und ihr notwendiger Charakter ergibt sich einfach aus dem Umstand, dass der Gegenstand dieser Beobachtung und dieses Experiments ein Diagramm unserer eigenen Schöpfung ist, dessen Existenzbedingungen wir alle kennen. " [CP 3.528, 560]