Erfordert allgemeine Kommutativität Assoziativität?

Question

Erfordert allgemeine Kommutativität Assoziativität?

Mathematik
Assoziativität
abstrakte Algebra
binäre Operationen

björn93

Es gibt ein Theorem, dass, wenn eine Operation auf 3 Elementen einer Menge assoziativ ist, sie auf beliebig viele von ihnen assoziativ ist. Diese Eigenschaft wird allgemeine Assoziativität genannt.

In ähnlicher Weise gibt es ein Theorem, dass Kommutativität allgemeine Kommutativität impliziert (jede Permutation der Elemente führt zum gleichen Ergebnis). Allerdings setzt ihr Beweis hier eine Halbgruppe voraus, d. h. es wird Assoziativität angenommen. Muss also die Assoziativität wahr sein, damit auch die allgemeine Kommutativität wahr ist? Wenn ja, kann eine Aussage über (allgemeine) Kommutativität gemacht werden, wenn Assoziativität nicht gilt?

Ethan Bölker

Wie würden Sie ohne Assoziativität fragen, was es bedeutet, allgemein kommutativ zu sein?

rschwieb

Ich denke, wenn Sie an "allgemeine Assoziativität" als Eigenschaft denken, sollten Sie aufhören. Die einzige Eigenschaft, die am Werk ist, ist "Assoziativität", und der Punkt des Theorems ist, dass die Definition von Assoziativität mehr Konsequenzen hat, als zunächst offensichtlich ist.

Antworten (3)

Erfordert allgemeine Kommutativität Assoziativität?

Wie würden Sie ohne Assoziativität fragen, was es bedeutet, allgemein kommutativ zu sein?
Ich denke, wenn Sie an "allgemeine Assoziativität" als Eigenschaft denken, sollten Sie aufhören. Die einzige Eigenschaft, die am Werk ist, ist "Assoziativität", und der Punkt des Theorems ist, dass die Definition von Assoziativität mehr Konsequenzen hat, als zunächst offensichtlich ist.

Flohblut · Answer 1

Wir können das Gegenteil beweisen. Wenn Sie Kommutivität haben, aber nicht unbedingt allgemeine Kommutivität, und wir keine Assoziativität haben, dann haben wir keine allgemeine Kommutivität.

Ich denke, allgemeine Kommutivität muss bedeuten $(ab)c = (bc)a = (ca)b = (ba)c = (ac)b =(cb)a$ .

Aber $xy = yx$ Dann $(ab)c = (bc)a = a(bc)$ also haben wir Assoziativität. Wir können also keine allgemeine Kommutativität ohne Assoziativität haben.

Mike Ernst · Answer 2

Der Satz „Kommutativität $\implies$ allgemeine Kommutativität" macht nur im Zusammenhang mit einer assoziativen Operation Sinn. Allgemeine Kommutativität ist, wenn ich es richtig verstehe, die Aussage, dass

X_{1} \circ X_{2} \circ \dots \circ X_{N} = X_{π (1)} \circ X_{π (2)} \circ \dots \circ X_{π (N)}

$x_1\circ x_2\circ \ldots \circ x_n=x_{\pi(1)}\circ x_{\pi(2)}\circ \ldots \circ x_{\pi(n)}$ für alle Permutationen

π

$\pi$ . Allerdings in Ordnung für den Ausdruck

x_{1} \circ x_{2} \circ \dots \circ x_{n}

$x_1\circ x_2\circ \ldots \circ x_n$ eindeutig sein,

\circ

$\circ$ muss assoziativ sein.

Clive Newstead · Answer 3

Wenn Sie die "allgemeine Kommutativität" einer binären Operation verstehen möchten $\star$ In Ermangelung von Assoziativität sollten Sie eine Konvention für die Zuordnung der Operation annehmen, da es sonst (wie Mike Earnest in seiner Antwort vorschlägt) nicht möglich ist, Ausdrücke wie zu verstehen $x \star y \star z$ .

Angenommen, Sie übernehmen die Konvention, die Sie mit der Linken assoziieren, sodass beispielsweise $x \star y \star z$ eigentlich bedeutet $(x \star y) \star z$ . Dann ist die Frage, ob Kommutativität allgemeine Kommutativität in diesem Sinne impliziert, dh ob Kommutativität dies impliziert

X_{1} ⋆ X_{2} ⋆ \dots ⋆ X_{N} = X_{σ (1)} ⋆ X_{σ (2)} ⋆ \dots ⋆ X_{σ (N)}

$x_1 \star x_2 \star \cdots \star x_n = x_{\sigma(1)} \star x_{\sigma(2)} \star \cdots \star x_{\sigma(n)}$ für alle

n \geq 1

$n \ge 1$ und alle Permutationen

σ \in Σ_{n}

$\sigma \in \Sigma_n$ , mit der Konvention der linken Assoziativität.

Überraschenderweise lautet die Antwort „nein“. Betrachten Sie zum Beispiel die Operation $\star$ am Set $X = \{ a, b \}$ definiert von

A ⋆ A = B A ⋆ B = B ⋆ A = A B ⋆ B = A

$a \star a = b \qquad a \star b = b \star a = a \qquad b \star b = a$ Diese Operation ist jedoch offensichtlich kommutativ

(A ⋆ B) ⋆ A = A ⋆ A = B Aber (A ⋆ A) ⋆ B = B ⋆ B = A

$(a \star b) \star a = a \star a = b \quad \text{but} \quad (a \star a) \star b = b \star b = a$ Wir sehen also, dass es nicht 'allgemein kommutativ' ist.

Und wie erwartet $\star$ ist nicht assoziativ, da $a \star (a \star b) = a \star a = b$ , Aber $(a \star a) \star b = b \star b = a$ .

Man könnte also sagen, allgemeine Kommutativität erfordert Assoziativität, richtig?
@ bjorn93 Wahrscheinlich, aber das hängt davon ab, was Sie unter "allgemeiner Kommutativität" verstehen, die Sie nicht definiert haben. Sie sollten Ihre Frage wirklich durch eine Definition klären.

Erfordert allgemeine Kommutativität Assoziativität?

björn93

Ethan Bölker

rschwieb

Antworten (3)

Flohblut

Mike Ernst

Clive Newstead

björn93

bof

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