Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen dem Punkt und einer Parabel

Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen den Punkten$(p,0)$, Wo$p> 0$, und die Parabel$y^2=4ax$, Wo$a>0$, in den verschiedenen Fällen, die sich nach dem Wert von ergeben$p/a$.
[Möglicherweise möchten Sie die parametrischen Koordinaten verwenden$(at^2, 2at)$von Punkten auf der Parabel]

Finden Sie daher den kürzesten Abstand zwischen den Kreisen$(x-p)^2 +y^2 = b^2$, Wo$p>0$Und$b>0$und die Parabel$y^2=4ax$, Wo$a>0$, in den verschiedenen Fällen, die entsprechend den Werten auftreten$p, a, b$.

Ich habe hier nicht viel Ahnung - wie üblich begann ich zu finden$\dfrac {dy}{dx}$der Parametergleichung =$\dfrac 1 t$

Also das ist grad normal$-t$und es geht durch$(p, 0)$.

Oder wir haben zwei parallele Linien bestehend aus

$$y=\dfrac 1 t x - \dfrac 1 t p$$ $$y=\dfrac 1 t x - at$$

und finden Sie den kürzesten Abstand zwischen ihnen. Ich weiss

$$-t = \dfrac {-2at}{p -at^2}$$ und ich habe versucht, t in Bezug auf p und a zu finden, aber den Abstand zwischen ihnen mit der Gleichung $$d = \dfrac{\left| d2-d1 \right|}{\sqrt {m^2 + 1}}$$ Wird wirklich chaotisch und scheint nicht das zu geben, was das Lösungspapier sagt:

Kürzeste Distanz ist$p$Wenn$p < 2$und ist$2\sqrt{a(p-a)}$Wenn$\dfrac p a \geq 2$.

Gibt es eine schnelle Möglichkeit, dies zu tun?

Weiter im vorherigen Teil dieser Frage

Die Linie$L$Gleichung hat$y=mx+c$, Wo$m>0$Und$c>0$. Zeigen Sie das in dem Fall$mc>a>0$, der kürzeste Abstand zwischen L und der Parabel$y^2 = 4ax$

$$\dfrac {mc-a}{m\sqrt{m^2 +1}}$$

Ich habe es damit gelöst$d$Gleichung, die ich aus der Wikipedia gefunden habe. Es ist nicht im Formelbuch angegeben, also denke ich, dass ich einen alternativen Weg finden soll, es zu lösen. (Oder selbst ableiten)

Das Gleichsetzen zweier normaler Gleichungen und deren Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung ergibt einen Punkt$(\dfrac a {m^2}, \dfrac {2a} {m})$

nNw

$$d = \sqrt {(\dfrac a {m^2} - x)^2+{(\dfrac {2a} {m} - (mx +c)})^2}$$

Das Differenzieren, um den Maximalwert zu finden, ergibt:

$$=> x = \dfrac {c-\dfrac {2a}{m} - \dfrac {a}{m^2}}{m+1}$$

Wieder wird es sehr chaotisch, wenn ich das setze$x$wieder in die Gleichung zu finden$d$.
Gibt es einen besseren Weg, dies zu tun?

Ich weiß, dass dieser Textblock hier einige Leute abschrecken mag, aber ich wollte meine Arbeit so gut wie möglich zeigen.
Vielen Dank im Voraus.