Finden Sie Schnittpunkte zwischen einer parametrisierten Parabel und einer Linie

Ich versuche, die Werte des Parameters zu finden$t$an den Schnittpunkten zwischen einer allgemeinen 2D-Parabel (als parametrische Funktion von$t$) und eine Gerade, deren Gleichungen aus zwei Punkten abgeleitet werden können$p$Und$q$($p \not = q$). Die Parabel ist wie folgt definiert:

$$x(t) = \frac{1}{2} a_x t^2 + v_x t + x_0 \\ y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_y t + y_0$$

Meine Interesse:

Wenn ich diese Lösung finden könnte, könnte ich die Zeit bis zur Kollision zwischen zwei nicht rotierenden, starren Liniensegmenten vorhersagen. Durch die Verwendung der relativen Bewegung zwischen ihnen als die$a$Und$v$in dieser parabolischen Kurve für jeden Punkt und wenn ich den Schnittpunkt zwischen ihm und dem anderen Liniensegment finde, kann ich den kleinsten finden$t > 0$so dass die Linien kollidieren.

Dies wäre für eine Physik-Engine, und die Verwendung der Beschleunigung in der Berechnung würde einige enorme Effizienzgewinne ermöglichen (Kollisionen müssen nicht ständig zwischen jedem Paar von Liniensegmenten vorhergesagt und behandelt werden, sondern nur während relevanter Zeitrahmen oder wenn sich die Beschleunigung ändert).

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Dank Andrea Mori konnte ich diese Gleichung lösen (angesichts der durch definierten Linie$p$Und$q$):

$$(q_y - p_y) x(t) - (q_x - p_x) y(t) - |p \times q| = 0$$

(Durch die Behandlung$a_x b_y - a_y b_x$als Äquivalent zu$\left| a \times b \right|$für 2D). Dann Auswechseln$x(t)$Und$y(t)$, konnte ich auf mehr Kreuzprodukte vereinfachen:

$$\frac{1}{2}\left(\left| a \times q \right| - \left| a \times p \right|\right) t^2 + (\left| v \times q \right| - \left| v \times p \right|)t + (\left| r \times q \right| - \left| r \times p \right| - \left| p \times q \right|) = 0$$

Die quadratische Formel kann dann mit dem gut sichtbaren angewendet werden$a$,$b$, Und$c$Werten (obwohl es hässlich werden würde, es auszuschreiben). Eine negative Diskriminante ($b^2 - 4ac$) zeigt keine Kollision an, Null gibt genau eine an und positiv gibt zwei (die kleinste) an$t > 0$der wichtigste ist).

Ich denke, die zweite Formel würde sich dann in 3D übersetzen, obwohl ich es nicht weiß, ohne es weiter zu bewerten.