Folgen der allgemeinen Gleichung der Hydrostatik ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E in Bezug auf Oberflächen, bei denen ppp und EEE konstant sind

Ich habe Schwierigkeiten, die Konsequenzen der allgemeinen Gleichung der Hydrostatik im Fall konservativer Kräfte zu verstehen.

(1) ∇ P = − ρ ∇ E

Wo P ist der Druck, ρ ist die Dichte und E ist die potentielle Energie pro Masseneinheit.

Die Bedeutung von ( 1 ) Klar ist aber nicht die Konsequenzen bezüglich der Oberflächen wo P konstant ist und wo E ist konstant.

Insbesondere welche der folgenden beiden ist richtig?

( A ) Die Oberflächen wo P = C Ö N S T A N T sind auch Oberflächen, wo E = C Ö N S T A N T Und ρ = C Ö N S T A N T unabhängig davon, dass ρ für die gesamte Flüssigkeit konstant ist oder nicht .

( B ) Die Oberflächen wo P = C Ö N S T A N T sind auch Oberflächen, wo E = C Ö N S T A N T Und ρ = C Ö N S T A N T nur wenn die ganze Flüssigkeit konstant ist ρ .

Einerseits ( A ) scheint richtig, weil die beiden Farbverläufe unabhängig voneinander parallel verlaufen ρ (was ein Skalar ist) und das bedeutet, dass sie senkrecht zu denselben Oberflächen stehen, wo die beiden entsprechenden Größen konstant sind ⟹ die oberflächen sind gleich.

Nehmen Sie auf der anderen Seite das Beispiel zweier nicht mischbarer Flüssigkeiten in einem U-Manometer.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das Buch sagt: "Der Druck ist auf der horizontalen Oberfläche, die durch 3 und 4 verläuft, gleich." Das ist ok, aber wenn ( A ) war richtig als P sollte auch auf den Oberflächen, die durch 2 und 5 gehen, gleich sein. Tatsächlich kann ich die Flüssigkeit betrachten, die aus der roten plus einem Teil der blauen besteht (die zwischen 3 und 2), ρ ist nicht konstant, aber es ist immer noch eine Flüssigkeit. Aber das ist nicht richtig.

Also welches dazwischen ( A ) Und ( B ) ist richtig und was sind die mathematischen und physikalischen Gründe ?

Ich würde sagen, dass ( B ) ist richtig, aber außer meinem Beispiel konnte ich keinen mathematischen Grund dafür finden ( A ) sollte falsch sein. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

Antworten (1)

(b) ist richtig. Ihre Gleichung gilt nur, wenn die gesamte Flüssigkeit dieselbe Flüssigkeit ist.

Angenommen, wie in Ihrem Problem ist E = gz, wobei z die Höhe über der Basis ist. Die Komponente Ihrer Gleichung in z-Richtung wird also

D P D z = − ρ G
Da es sich bei den Punkten 3 und 4 um dieselbe Flüssigkeit handelt, ist beispielsweise der Druck an diesen beiden Punkten gleich P 3 − 4 . Nun, wenn Δ z den Höhenunterschied zwischen den Punkten 2 und 3 sowie zwischen den Punkten 4 und 5 darstellt, sind die Drücke an den Punkten 2 und 5 wie folgt:
P 2 = P 3 − 4 − ρ B Δ z
P 5 = P 3 − 4 − ρ R Δ z
Wo ρ B ist die Dichte der blauen Flüssigkeit und ρ R ist die Dichte der roten Flüssigkeit. Sie können daraus erkennen, dass die Drücke an den Punkten 2 und 5 nicht gleich sind, weil die beiden Dichten nicht gleich sind.

Danke für die Antwort! Ich verstehe das Beispiel, aber warum ( A ) sollte falsch sein, wenn man nur die Gleichung betrachtet ( 1 ) ? Die Dichte ist ein Skalar, daher ändert sie nicht die Richtung, selbst wenn sie nicht konstant ist ∇ E , die immer noch senkrecht zu den Flächen ist, wo E = C Ö S T und von ( 1 ) diese Flächen sollten auch mit sein P = C Ö S T , Weil ∇ P “ ∇ E , unabhängig vom Wert von ρ .
Nun, das Beispiel, das ich gegeben habe, zeigt deutlich, dass dies nicht der Fall ist. Der Gradient von p ändert sich, wenn sich die Dichte ändert, obwohl sich der Gradient von E nicht ändert. Sie müssen sich mit der Mathematik auseinandersetzen. Es ist nicht wirklich eine Frage der Physik. Wenn das Rho innerhalb des Del auf der rechten Seite wäre, so wäre es ∇ ( ρ E ) , dann wäre (a) richtig. Aber es ist nicht.
Folgen der allgemeinen Gleichung der Hydrostatik ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E in Bezug auf Oberflächen, bei denen ppp und EEE konstant sind
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