Die allgemeine quintische Gleichung kann nicht durch Radikale gelöst werden und wird in einem wegweisenden und weitreichenden Werk von Galois aus dem Jahr 1832 gezeigt, das zu einer Vorlage der modernen Gruppentheorie und der Galois-Theorie wurde. Die allgemeine Quintengleichung kann jedoch auf eine Bring-Radikalform reduziert werden (unter Verwendung der Tschirnhaus-Transformation), und diese Form der Quinte kann irgendwie mit Ideen aus der Theorie der elliptischen Funktionen gelöst werden. Ich bin wirklich nicht vertraut mit diesen Materialien, und deshalb stelle ich diese Frage.
Nach dem, was ich gelesen habe, stützte Hermite seine Konstruktion auf Ergebnisse von Jacobi und Bemerkungen von Galois selbst (in Galois' letzter Arbeit) - diese Ergebnisse betreffen das sogenannte "Transformationsproblem elliptischer Integrale"; ein Transformation des elliptischen Integrals ter Ordnung führt zu einer modularen Gleichung, die eigentlich eine ist Polynomgleichung dritten Grades in zwei Variablen, und diese Variablen sind irgendwie mit dem elliptischen Integral verbunden. Hermite stützte seinen Beweis auf die Transformation ter Ordnung von Jacobi.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass laut Seite 4 des Buches „Hessian Polyhedra, Invariant Theory And Appell Hypergeometric Functions“ Transformationen der Ordnung 3, 5 und 7 Gauß seit 1808 bekannt waren, und gemäß einer anderen Quelle auch Gauß machte einige sehr bedeutsame Bemerkungen zum Problem der Transformation irgendeiner ungeraden Ordnung.
Meine Fragen sind daher sowohl erklärend als auch historisch:
Im Allgemeinen besteht die Transformation elliptischer Integrale (oder Differentiale) darin, algebraische Lösungen zu finden einer Differentialgleichung
Die erste derartige Transformation wurde 1775 von Landen entdeckt und wird Landens Transformation genannt . Unabhängig davon wurde es 1790 von Gauß entdeckt, als er das arithmetisch-geometrische Mittel studierte (zuvor 1785 von Lagrange untersucht). Aber wie üblich erhält Gauß alle Ehre für alles, was er berührt hat.
Die Transformationstheorie führt zu bestimmten algebraischen Gleichungen, die als klassische modulare Gleichungen bezeichnet werden und die Hermite zur Lösung der Quintik verwendete.
Sie können die Details in Kleins Buch Vorlesungen über Ikosaeder und Lösung der Gleichung 5. Grades nachlesen. Eine moderne Darstellung finden Sie im Buch von Jonathan und Peter Borwein, Pi und AGM.
Originalunterlagen: Hermite CR 46 (1858) 508-515. Kronecker (ein vereinfachter Beweis): CR 46 (1858) 1150-1152.
Verallgemeinerung auf Gleichungen beliebigen Grades: H. Umemura, Solving algebraic equations with theta-constants, Anhang I zum Buch von D. Mumford, Tata Lectures on Theta, 1983.
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