Fundamentaler minimaler Grundrauschen

Allgemeine Theorie als Bezugspunkt genommen

Das Shannon-Hartley-Theorem zeigt an, dass bei ausreichend fortschrittlichen Codiertechniken eine Übertragung bei Kanalkapazität mit beliebig kleinen Fehlern erfolgen kann.

• Wenn S/N zunimmt, kann die Informationsrate steigen, während immer noch Fehler aufgrund von Rauschen verhindert werden; eine unendliche Informationsrate ist möglich, wenn das SNR gegen unendlich tendiert (kein Rauschen), unabhängig von der Bandbreite;
• Wenn B zunimmt, kann in ähnlicher Weise die Informationsrate steigen, aber wenn B auf unendlich geht, ist die Kanalkapazität auf begrenzt$1.44 S/\eta$.

Die leistungsspektrale Rauschdichte ist

$$\eta=k_{0}T_{eq}$$ und Teq ist die äquivalente Rauschtemperatur (wie in einem Kommentar oben angegeben) und nicht die Mediumstemperatur.

Wenn wir Binärziffern senden (wie es aussieht, wenn die Datenrate ohne andere Details zu Phasen und Pegeln angezeigt wird) und wir davon ausgehen, dass die den beiden Ziffern (0 und 1) zugeordneten Symbole die gleiche Leistung haben, dann ist die durchschnittliche Energie pro Bit gegeben durch Signalleistung S multipliziert mit Datenrate R:

$$E_{b}=SR$$

Es ist möglich, eine Grenze für die Energie pro Bit zu finden: die Rauschleistung ist

$$N=\eta B,$$ die Symbolrate wird gleich der Kanalkapazität genommen $$R=C$$ Daher $$\dfrac{E_{b}}{\eta}=\dfrac{B}{C}\left(2^{C/B}-1\right)$$

Diese Gleichung wird für variable B/C-Werte aufgetragen, wobei die Grenze von -1,59 dB (Shannon-Grenze) ermittelt wird, in diesem Fall für eine Rate, die die Kanalkapazität (R=C) erreicht hat.

Der als "nicht implementierbar" gekennzeichnete Bereich ist derjenige, in dem eine teilweise Übertragung möglich ist (siehe die Frage von David K), aber nicht die gesamte Nachricht mit einem reduzierenden Fehler.

Betrachten wir nun die erreichbare spektrale Effizienz für ein gegebenes SNR. Die spektrale Effizienz rho wird verwendet, um die Datenrate und die belegte Bandbreite W (höchstens die gesamte Kanalbandbreite B) in Beziehung zu setzen:

$$R=\rho B$$ Es ist möglich, die Shannon-Grenze umzuschreiben als $$SNR>2^{\rho}-1$$ Anknüpfend an das Verhältnis von Energie pro Bit (Signalbit, nicht Informationsbit) und Rauschleistungsspektraldichte, $$Eb/\eta = SNR/\rho$$ , wir haben $$\dfrac{E_{b}}{\eta}>\dfrac{2^{\rho}-1}{\rho}$$

Wenn rho unterschiedliche Ausnutzungsgrade der Kanalbandbreite angibt, erhalten wir unterschiedliche minimale Signal-Rausch-Abstände:

$$\dfrac{E_{b}}{\eta}\geq\begin{cases} \begin{array}{ll} 1.76\mathrm{dB} & \rho=2\\ 0\mathrm{dB} & \rho=1\\ -1.59\mathrm{dB} & \rho\rightarrow0 \end{array}\end{cases}$$

Notiz. Bei kleinem SNR (leistungsbegrenzte Kanäle) steigt die erreichbare spektrale Effizienz linear mit dem SNR, während bei großem SNR (bandwidth-limited channel) der Anstieg nur logarithmisch ist.

Die -1,59 dB zeigen an, dass es für niedrigere Datenraten möglich ist, ein negatives SNR zu verwenden, obwohl es nicht so niedrig ist.

Interpretation der betreffenden Daten

1) Der Begriff "Frequenz" von 1 Hz und 106204 Hz bezieht sich auf die Datenrate R oder die Bandbreite B? für das, was unten gesagt wird, sollte es die Bandbreite sein.

2) Der Ausdruck "in maximal 1 Stunde" ist mehrdeutig: Wenn es sich um die Dauer der Übertragung von 64 Bit handelt, nehmen wir genau 1 Stunde an, die die Datenrate mit 64/3600 Bit/s bestimmt, und der Begriff "Frequenz " soll die Bandbreite sein.

3) Der Begriff "Grundrauschen" sollte direkt von B*k0*Teq (oder B*k0*Tamb, unter der Annahme einer Rauschzahl von 1) kommen; mit k0 = -228,6 [dBW/K/Hz], Summierung von 10*log10(Tamb) und 10*log10(B) ergibt: B=1 Hz => -203,98 dBW, B=102604 Hz => B=-153,71 dBW. Und letzteres passt zum Kommentar @Tony Stewart.

Überprüfung der ersten Gleichung in der Frage

Datenrate R = 64/3600 = 0,0178

Bandbreite B = 1 Hz oder 106204 Hz

Rho = 0,0178 oder 3,35 · 10^(-7)

SNRmin = 2^rho - 1 => -19,1 oder -66,3 dB

Läuft bei einem Hertz BW, SNR von NULL dB (Signalleistung gleich Rauschleistung) und ignoriert die Möglichkeit, dass angepasste Filter die Signalwiederherstellung unterstützen, ist die Rauschleistung

$$-174dBm$$ oder $$-204dBWatt$$

für 290 Grad Kelvin.

Die Mathematik des OP zeigt, dass eine höhere Datenrate (106 Kilohertz) ein um 2 dB schwächeres Signal bei -205,28 dBWatt zulässt.