Geschlossene Form für diese unvollständige Gamma-Serie?

Die Serie, mit der ich arbeite, ist

∑ k = 0 ∞ ( z k ) ( − 1 ) k ( 1 − Γ ( k , − Protokoll ⁡ N ) Γ ( k ) )

mit z eine komplexe Variable und Γ ( k , − Protokoll ⁡ N ) die obere unvollständige Gammafunktion.

Lässt sich dies in geschlossener Form ausdrücken (evtl. mit Sonderfunktionen)?

Als zusätzliche Information habe ich bereits einen Beweis für den Spezialfall

lim z → 0 z − 1 ( − 1 + ∑ k = 0 ∞ ( z k ) ( − 1 ) k ( 1 − Γ ( k , − Protokoll ⁡ N ) ) Γ ( k ) ) = − Γ ( 0 , − Protokoll ⁡ N ) − π ich − Protokoll ⁡ Protokoll ⁡ N − γ

und es scheint empirisch, dass für z = − 1 , reduziert sich die Summe auf 1 − Protokoll ⁡ N .

Teilen Sie es in zwei Summen auf und beachten Sie, dass die erste eine ist 0 .

Antworten (1)

Okay, eine Antwort, wenn auch ohne strengen Beweis. Wenn jemand die Details hier ausfüllen kann, würde ich gerne ihre Antwort annehmen.

Mit ein wenig Manipulation in Mathematica landete ich bei dem sehr ordentlichen:

∑ k = 0 ∞ ( z k ) ( − 1 ) k ( 1 − Γ ( k , − Protokoll ⁡ N ) Γ ( k ) ) = L − z ( Protokoll ⁡ N ) ,

Wo L z ( N ) sind die Laguerre-Polynome ( Mathworld-Link ).

Um hier zu landen, habe ich eine Identität verwendet, die JM in einer Antwort auf eine frühere Frage von mir (diese) gezeigt hatte :

( − 1 ) k ( 1 − Γ ( k , − Protokoll ⁡ N ) Γ ( k ) ) = ( − 1 ) k + 1 Γ ( k ) ∫ − Protokoll ⁡ N 0 T k − 1 e − T D T

und dann habe ich die Reihenfolge der Summe und des Integrals vertauscht, und Mathematica hat die resultierenden Terme sofort als die Laguerre-Polynome erkannt.

Jedenfalls weiß ich jetzt aus einer Reihe von Tests, dass meine Summe tatsächlich gleich zu sein scheint L − z ( Protokoll ⁡ N ) . Kann man das übersichtlicher darstellen?

Geschlossene Form für diese unvollständige Gamma-Serie?
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