Geschlossene Form für eine unendliche Reihe mit niedrigeren unvollständigen Gammafunktionen

$Q(t) = \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{(at)^l(b/a)^k}{k!l!}\Big].$

Ich werde blind versuchen, die Reihenfolge der Summierung umzukehren und zu sehen, was passiert.

$\begin{array}\\ S(u, v) &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{u^lv^k}{k!l!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=l}^\infty \frac{u^lv^k}{k!l!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=l}^\infty \frac{v^k}{k!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}(e^v-\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!})\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}e^v-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!}\\ &=e^ue^v-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!}\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}(\sum_{k=0}^{l} \frac{v^k}{k!}-\frac{v^l}{l!})\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l} \frac{v^k}{k!}+\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\frac{v^l}{l!}\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{l}\frac{u^l}{l!} \frac{v^k}{k!}+\sum_{l=0}^\infty\frac{(uv)^l}{l!^2}\\ &=e^{u+v}-S(v, u)+I_0(2\sqrt{uv}) \\ \end{array}$

Wo$I_0$ist die modifizierte Bessel-Funktion erster Art.

Das ist also keine Bewertung, aber wir bekommen die Beziehung

$S(u, v)+S(v, u) =e^{u+v}+I_0(2\sqrt{uv})$.

Dann

$\begin{array}\\ Q(t) &= \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{(at)^l(b/a)^k}{k!l!}\Big]\\ &= \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}S(at, b/a)\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[e^{at+b/a}-S(at, b/a)\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[e^{at+b/a}-(e^{at+b/a}-S(b/a, at)+I_0(2\sqrt{(at)(b/a)}))\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[S(b/a, at)-I_0(2\sqrt{tb})\Big]\\ \end{array}$

Auch hier keine Wertung, sondern ein möglicherweise sinnvoller alternativer Ausdruck.

Das erinnert mich sehr an eine Arbeit, die ich vor über vierzig Jahren an der Marcum-Q-Funktion gemacht habe. Sie können das nachschlagen und den Referenzen folgen. Hier können Sie starten:

https://en.wikipedia.org/wiki/Marcum_Q-Funktion

Um meine Ergebnisse aus der Anleitung von @martycohen zusammenzufassen, bin ich zu diesem Ergebnis für die inverse Laplace-Transformation gekommen, die ich brauche:

$$\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s(s-a)}e^{b/s}\Big\}(t) = \frac{e^{at}}{a}\sum_{k=1}^\infty \frac{(b/a)^k}{k!}\frac{\gamma(k+1,at)}{\Gamma(k+1)}.$$ Das Buch „An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics“ von Temme (1996) liefert die Definition $$Q_\mu(u,v) = 1- e^{-u}\sum_{k=0}^\infty\frac{u^k}{k!}\frac{\gamma(\mu+k,v)}{\Gamma(\mu+k)}$$ für das Nicht-Zentrale$\chi^2$Distribution, auch bekannt als "verallgemeinertes Marcum$Q$-Funktion", oder eben die "Marcum$Q$-Funktion" wann$\mu=1$. Martys Vorschlag sieht vor $$\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s(s-a)}e^{b/s}\Big\}(t) = \frac{1}{a}e^{at+b/a}[1-Q_1(b/a,at)].$$ Es gibt eine Darstellung dieser Funktion als unendliche Überlagerung von modifizierten Bessel-Funktionen erster Art, nullter Ordnung: $$Q_\mu(u,v) = 1-\int_0^v \Big(\frac{z}{u}\Big)^{\frac{1}{2}(\mu-1)}e^{-z-x}I_{\mu-1}(2\sqrt{xz}).$$ Dies ist im Zusammenhang mit dem Problem, das zur Notwendigkeit dieser inversen Laplace-Transformation geführt hat, absolut sinnvoll. Danke Marti! Das hilft meiner Recherche.