Gibt es eine Beziehung zwischen schwachen und starken Kräften, ähnlich wie elektrische und magnetische Kräfte?

Ich vermute, was Sie fragen - ignorieren Sie diese Antwort, wenn ich Sie falsch verstanden habe.

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben das klassische Verhalten des Elektromagnetismus. Sie können dies nur tun, weil die EM-Kräfte eine große Reichweite haben und sich daher in makroskopischen Entfernungen klassisch verhalten. Im Gegensatz dazu haben die schwachen und starken Kräfte eine kurze Reichweite und hören auf, über irgendetwas wie die klassische Entfernungsgrenze zu wirken. Es gibt keine klassische Annäherung, um die schwachen und starken Kräfte zu beschreiben, also gibt es keine Analogie zur Maxwell-Gleichung.

Oberhalb des elektroschwachen Übergangs wird die elektroschwache Kraft langreichweitig. Ob es im Geiste der Maxwell-Gleichungen eine klassische Grenze gibt, ist eine gute Frage, und ich kenne die Antwort nicht. Ich würde vermuten, dass es selbst beim EW-Übergang keine solche Grenze für die starke Kraft gibt, weil die Kraft immer noch begrenzt sein wird.

Die Antwort auf die im Titel gestellte Frage selbst lautet nein. Die verbindende Verbindung, analog zu Elektrizität + Magnetismus ⇒ Elektromagnetismus, die Sie suchen, ist nicht Schwache Kernkraft + Starke Kernkraft ⇒ (???), sondern Schwache Kernkraft + Elektromagnetismus ⇒ Elektroschwache Kraft. Nur die Ähnlichkeit der Namen lässt etwas anderes vermuten.

Stattdessen verzweigt sich die starke Kraft aus der tieferen, fundamentaleren (und viel stärkeren) Quark- oder Farbkraft , wobei die entsprechende Quantenfeldtheorie die Quantenchromodynamik oder QCD ist; während es sich bei der elektroschwachen Kraft um Quantum Flavor Dynamics oder QFD handelt.

Es gibt also nur 2 bekannte Grundkräfte - abgesehen von der Schwerkraft - die elektroschwachen Kräfte und die Farbkräfte; und das Standardmodell und die zugrunde liegende Quantenfeldtheorie bieten Raum für die Möglichkeit eines dritten, was eine ausführliche Erklärung über Chiralität, Helizität, die Dreieckanomalie und das Fermionenspektrum für das Standardmodell im Detail erfordert, also habe ich gewonnen Ich kann hier nichts mehr darüber sagen, außer einem kurzen Punkt, bevor ich fortfahre.

Die Antwort auf die Frage in der Frage ("Gibt es Maxwell-ähnliche Gleichungen?") Ist ja, erfordert aber einige Einstellungen. Und ich werde die Antwort nicht vollständig darlegen, da dies beinhaltet, tiefer in das Higgs einzutauchen.

Der kurze Punkt, der gemacht werden muss, ist, dass die Symmetriegruppe SU(3) × SU(2) × U(1) die Symmetrien SU(3) für "Farbe", SU(2) für "Isospin" beinhaltet (was, hat trotz seines Namens keine andere Verbindung zu Spin oder Drehimpuls als seine Symmetriegruppe ist auch ein SU (2)) und U (1) für "Hyperladung". Die ersten beiden haben nicht-abelsche Eichfelder, die letzten nicht. Die Maxwell-Gleichungen für nicht-Abelsche Eichfelder sind nichtlinear und inhomogen und haben alle Quellterme, die aus dem Feld selbst entstehen – einschließlich magnetischer Quell- und Stromterme.

Noch wichtiger: Das elektromagnetische Feld ist nicht das U(1)-Hyperladungsfeld, sondern eine Überlagerung des Hyperladungsfelds mit einer der 3 Moden des SU(2)-Felds. Als solche sind auch seine Feldgleichungen nichtlinear und inhomogen. Das wichtigste Merkmal der elektroschwachen Theorie ist, dass ihre Gleichungen aufgrund dieser Nichtlinearität und Inhomogenität die Maxwell-Gleichungen sowohl ersetzen als auch verfälschen .

Für die klassische Feldtheorie ist die Situation nun so, dass die Maxwell-Gleichungen für den Elektromagnetismus durch Gleichungen ersetzt werden, die Teil der in Maxwell-Form geschriebenen Eichfeldgleichungen sind. Wenn wir Elektromagnetismus innerhalb von QFD quantisieren, quantisieren wir das jetzt; nicht die Maxwellschen Gleichungen.

Die Felder

Die folgende Beschreibung ist generisch für alle Eichfelder, unabhängig davon, was ihre Symmetriegruppe ist oder welche Art von Lagrangian ihre Dynamik beschreibt (Yang-Mills oder auf andere Weise). Die einzige Annahme, die gemacht wird, ist, dass es ein Aktionsprinzip für seine Dynamik gibt, das von einer Lagrange-Funktion bestimmt wird.

Das Feld und die Gleichungen sind im Grunde die gleichen wie bei Maxwell, außer dass jede Komponente repliziert wird. Für die Symmetriegruppe U(1) × SU(2) × SU(3), die 12 Erzeuger hat, bedeutet das eine 12-fache Replikation.

Für das Folgende sind sie vektorwertig: das elektrische Potential $φ$, magnetisches Potential $𝐀 = (A₁, A₂, A₃)$, magnetische Induktion $𝐁 = (B¹, B², B³)$und elektrische Kraft $𝐄 = (E₁, E₂, E₃)$. Der Skalar und jede Komponente der drei Vektoren ist ein Lie-Vektor.

Für die folgenden sind sie co-vektorwertig: die elektrische Induktion $𝐃 = (D¹, D², D³)$, die magnetische Kraft $𝐇 = (H₁, H₂, H₃)$, die Ladungsdichte $ρ$, und die Stromdichte $𝐉 = (J¹, J², J³)$, sowie die Ladung$e$. Ebenso bedeutet das jeden Skalar und jede Komponente jedes Vektors.

Sie ordnen sich in den folgenden Lie-Vektorwertformen an:

$$A ≡ A₁ dx + A₂ dy + A₃ dz ‒ φ dt,$$ $$F ≡ B¹ dy∧dz + B² dz∧dx + B³ dx∧dy + (E₁ dx + E₂ dy + E₃ dz)∧dt,$$

jeweils für die potentielle 1-Form , die Feldstärke 2-Form und die folgenden Lie-Co-Vektor-Wert-Formen:

$$G ≡ D¹ dy∧dz + D² dz∧dx + D³ dx∧dy ‒ (H₁ dy + H₂ dy + H₃ dz)∧dt,$$ $$Q ≡ ρ dx∧dy∧dz ‒ (J¹ dy∧dz + J² dz∧dx + J³ dx∧dy)∧dt.$$

jeweils für das Antwortfeld 2-Form und Quellstrom 3-Form .

In seinen frühesten Arbeiten, vor der Abhandlung, schrieb Maxwell die Felder als Differentialformen, außer dass er die nicht kombinierte$(φ, 𝐀), (𝐁, 𝐄), (𝐃, 𝐇), (ρ, 𝐉)$paart sich mit$dt$, aber hielt sie getrennt und verwendete keine Grassmann-Algebra für die Differentialformen (außer einmal in der Abhandlung). Und tatsächlich beschrieb er kurz die Möglichkeit, dass sich Gravitation und Elektromagnetismus mit einem nicht trivialen Mischungswinkel zu dem vereinigen, was wir heute als abelsches Eichfeld für U(1) × U(1) bezeichnen würden. Das heutige Analogon dazu ergäbe sich aus der Kombination der Hyperladung U(1) mit der U(1) der oben kurz angedeuteten Zusatzkraft (der$B-L$Kraft oder Kraft, die mit der Baryonenzahl minus der Leptonenzahl gekoppelt wäre) und würde die Vereinigung der elektroschwachen Kraft mit der beschreiben$B-L$Kraft, anstatt den Elektromagnetismus mit der Schwerkraft zu vereinen.

Die algebraischen Konventionen

Jede Lie-Gruppe hat eine Lie-Algebra, deren Elemente, "Lie-Vektoren", in Bezug auf eine Basis erweitert werden können$(Y₀, Y₁, Y₂, ⋯) = (Y_a)$. Die Grundoperationen der Lie-Algebra sind Addition, Multiplikation mit einem Skalar und die Lie-Klammer$[⋯,⋯]$. Die Klammeroperation wird vollständig durch ihre Wirkung auf der Grundlage bestimmt,

$$[Y_a,Y_b] = Σ_c f_{ab}^c Y_c,$$

ausgedrückt durch die Strukturkoeffizienten $f_{ab}^c$. Hier und im Folgenden werde ich die Einstein-Summierungskonvention verwenden , was bedeutet, dass wiederholte Indizes zu summieren sind. Die obige Gleichung kann also umgeschrieben werden als$[Y_a,Y_b] = f_{ab}^c Y_c$.

Folglich die Felder, ihre Komponenten und die Formulare$A$,$F$,$G$Und$Q$, und die Ladung$e$alle haben Zerlegungen in Bezug auf die jeweiligen Basen

$$(φ, 𝐀, 𝐁, 𝐄) = (φ^a Y_a, 𝐀^a Y_a, 𝐁^a Y_a, 𝐄^a Y_a),$$ $$(ρ, 𝐉, 𝐇, 𝐃) = (ρ_a Y^a, 𝐉_a Y^a, 𝐇_a Y^a, 𝐃_a Y^a),$$ $$e = e_a Y^a.$$

Der wichtige Punkt dabei ist, dass die zwei Mitglieder in jedem der Paare$(𝐃,𝐄)$Und$(𝐁,𝐇)$können nicht einfach miteinander gleichgesetzt werden, weil sie nicht einmal die gleiche Art von Objekten sind.

Es ist immer möglich, eine Lie-Algebra zu erweitern, indem man sie mit einer assoziativen Produktoperation ausstattet, so dass$uv ‒ vu = [u,v]$; zum Beispiel durch Annahme einer getreuen Matrixdarstellung oder einer Einbettungsalgebra.

Das Dual der Lie-Algebra hat eine Basis$(Y⁰, Y¹, Y², ⋯) = (Y^a: a = 0, 1, 2, ⋯)$. Die grundlegenden Operationen sind Kontraktion und eine "koadjungierte Klammer" mit Lie-Vektoren:

$$Y_a ˩ Y^b = δ_a^b,$$ $$[Y^c, Y_a] = f^c_{ab} Y^b$$

Wo$δ_a^b = 1$Wenn$a = b$Und$δ_a^b = 0$Wenn$a ≠ b$. Die letztere Operation erfüllt die Identität

$$v ˩ [ω, u] = [u, v] ˩ ω.$$

Für halbeinfache Lie-Gruppen kann die algebraische Erweiterung für ihre Lie-Algebren weiter erweitert werden, um Co-Vektoren einzuschließen, so dass

$$ω u ‒ u ω = [ω, u]$$

und einen zusätzlichen Operator, einen linearen „Trace“-Operator, der erfüllt:

$$Tr(ωu) = u ˩ ω,$$ $$Tr(ab⋯c) = Tr(b⋯ca).$$ $$Tr(u ± v) = Tr(u) ± Tr(v)$$

So zB

$$Tr(ω [u,v]) = Tr(ω (uv ‒ vu)) = Tr((ωu ‒ uω)v) = Tr([ω,u]v)$$ was mit der Anforderung übereinstimmt, dass$v ˩ [ω,u] = [u,v] ˩ ω$.

Dadurch, dass die Lie-Algebra wie oben beschrieben in eine assoziative Algebra eingebettet ist, können die Vektoroperationen gut in die Lie-Operationen eingepasst werden. Daher,

$$𝐀 × 𝐀 = 𝐀^a × 𝐀^b Y_a Y_b = ½ 𝐀^a × 𝐀^b (Y_a Y_b ‒ Y_b Y_a) = ½ f^c_{ab} 𝐀^a × 𝐀^b Y_c$$ und ähnlich: $$φ𝐀 ‒ 𝐀φ = f^c_{ab} φ^a 𝐀^b Y_c;$$ und für die co-vektorwertigen Formen können wir schreiben $$φ𝐃 ‒ 𝐃φ = -f^c_{ab} φ^a 𝐃_c Y^b.$$

Eichfeldgleichungen in Maxwell-Form

Mit diesen Konventionen können die Gleichungen für die klassische Eichtheorie somit analog zu den Maxwell-Gleichungen geschrieben werden als:

1. Feldpotentialgleichungen:

$$𝐁 = ∇ × 𝐀 + 𝐀 × 𝐀,$$ $$𝐄 = ‒\frac{∂𝐀}{∂t} ‒ ∇φ + φ𝐀 ‒ 𝐀φ.$$

2. Bianchi-Identitäten:

$$∇·𝐁 + 𝐀·𝐁 ‒ 𝐁·𝐀 = 0,$$ $$∇×𝐄 + \frac{∂𝐁}{∂t} + 𝐀×𝐄 + 𝐄×𝐀 + 𝐁φ ‒ φ𝐁 = 𝟬.$$

3. Feldrecht:

$$∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 = ρ,$$ $$∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ = 𝐉.$$

4. Kontinuitätsgleichung:

$$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁.$$ Bei Feldtheorien, deren Dynamik von Lorentz-invarianten Lagrangians abgeleitet wird, ist die rechte Seite immer Null.

5. Kraft- und Potenzgesetze (erste Form):

$$\frac{d(𝐩 + Tr(e𝐀))}{dt} = ‒∇(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀))),$$ $$\frac{d(H + Tr(eφ))}{dt} = \frac{∂(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀)))}{∂t}.$$

beide partiellen Ableitungen auf der rechten Seite werden genommen, halten$e$Und$𝐯 = d𝐫/dt$Fest.

6. Kraft- und Potenzgesetze (zweite Form):

$$\frac{d𝐩}{dt} = Tr(e(𝐄 + 𝐯×𝐇)),$$ $$\frac{dH}{dt} = Tr(e𝐯·𝐄),$$ $$\frac{de}{dt} = Tr((φ‒𝐯·𝐀)e ‒ e(φ‒𝐯·𝐀)),$$ die letzte heißt Wong-Gleichung , die nur gilt, wenn die rechte Seite der Kontinuitätsgleichung 0 ist; dh wenn$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0$.

Die Wong-Gleichung beschreibt die Präzession der Eichladung unter dem Einfluss des Eichfeldes. Für Isospin SU(2) liegt diese Präzession zwischen den Isospin-up- und Isospin-down-Zuständen, die jeweils entsprechen${u,c,t,ν_e,ν_μ,ν_τ}$und ihre jeweiligen Partner${d,s,b,e,μ,τ}$. (Und es gilt nur für linke Helizitätszustände für Materie und rechte Helizitätszustände für Antimaterie, worauf ich hier nicht im Detail eingehen wollte.)

7. Kraft- und Potenzgesetze (Kontinuumsform):

$$𝐅 = Tr(ρ𝐄 + 𝐉×𝐁),$$ $$P = Tr(𝐉·𝐄).$$

Die Gleichungen 1–4 sind jeweils die Komponentenformen von

$$dA + A² = F,$$ $$dF + AF - FA = 0,$$ $$dG + AG - GA = Q,$$ $$dQ + AQ + QA = FG - GF,$$ wobei ähnliche Effizienzen auftreten, indem die Grassmann-Algebra der Differentialformen mit der Algebra für die Lie-Vektoren und Covektoren kombiniert werden.

Die anderen Gleichungen (5, 6 und 7) können auch als natürliche Operationen mit Differentialformen geschrieben werden, sind aber etwas komplizierter, und ich werde hier nicht darauf eingehen. Als solche sind sie alle natürliche Gleichungen, die keine Hintergrundmetrik erfordern und unabhängig von metrischer und kausaler Struktur sind. Sie nehmen die gleiche Form an, unabhängig davon, ob die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit mit einer lokal euklidischen 4+0-Metrik, einer lokal 3+1-Minkowski-Metrik oder sogar einer Newton-Cartan-Struktur für die nichtrelativistische Feldtheorie ausgestattet ist.

Die konstitutiven Gesetze mit Yang-Mills-Lagrangians

8. Konstituierendes Gesetz im Vakuum

$$𝐃_a = ε_{0ab} 𝐄^b,$$ $$𝐁^a = μ_0^{ab} 𝐇_b,$$ Wo$k_{ab} = ε_{0ab} c$Und$k^{ab} = μ_0^{ab} c$sind jeweils die Komponenten der Metrik und inversen Metrik für die zugrunde liegende Lie-Algebra in Bezug auf die Basen$(Y_a)$Und$(Y^a)$.

Dies ergibt sich als Feldgleichung aus der Yang-Mills-Wirkung

$$S = ∫ ½ \frac{k_{ab}}{c} (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²) d⁴x$$ was die direkte Verallgemeinerung der Maxwell-Lorentz-Aktion ist $$S = ∫ ½ ε₀ (E² ‒ B² c²) d⁴x$$ und es zeigt, dass der Koeffizient$k ≡ ε₀ c = \sqrt{ε₀/μ₀}$ist eigentlich die Eichgruppenmetrik für U(1), wenn die Maxwell-Lorentz-Aktion als Yang-Mills-Aktion für U(1) geschrieben wird. Es ist kein Koeffizient, der „rein konventionell“ ist, noch einer, der „ignoriert“ oder „wegdefiniert“ werden kann, sondern hat eine physikalische und geometrische Bedeutung: Er beschreibt einen entscheidenden Teil der eigentlichen Geometrie von U(1), selbst – seine metrisch!

Die physikalische Relevanz der konstitutiven Koeffizienten und des konstitutiven Gesetzes ist ein Punkt, den Hehl im Zusammenhang mit der elektromagnetischen Theorie angesprochen hat. Es enthält wichtige Physik, die Sie (verkleidet) unten im Zusammenhang mit der Quantenfeldtheorie beißen wird, selbst wenn Sie versuchen, sie aus der klassischen Theorie zu entfernen. Noch wichtiger, in nicht-kartesischen Koordinaten und in gekrümmten Raumzeiten, der Koeffizient$ε₀c$wird eine Funktion der Raum-Zeit-Metrik und der Koordinaten. Wie Hehl betonte, beschreibt dies dann - auf nicht triviale Weise - die konstitutive Eigenschaft des Vakuums selbst. Das Vakuum ist nicht länger etwas, das nichts enthält. Die Metrik zählt als „etwas“ (wie auch die Verbindung, aber das kommt hier nicht direkt ins Spiel), nicht als „nichts“.

Es ist üblicher, die in der theoretischen Literatur geschriebenen Felder in Gaußscher Form zu sehen (hier mit dem Index gekennzeichnet$()₊$):

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = (\sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐀, \sqrt{4πε₀}φ, \sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐁, \sqrt{4πε₀}𝐄),$$ $$(𝐉₊, ρ₊, 𝐃₊, 𝐇₊) = (\frac{𝐉}{\sqrt{4πε₀}}, \frac{ρ}{\sqrt{4πε₀}}, \sqrt{\frac{4π}{ε₀}} 𝐃, \sqrt{4πμ₀}𝐇),$$ $$(e₊) = (\frac{e}{\sqrt{4πε₀}}),$$ $$(μ₊, ε₊) = (\frac{μ}{μ₀}, \frac{ε}{ε₀}).$$ mit oder ohne extra$4π$'S.

Dies hat den unglücklichen Effekt, das Bild zu trüben, indem Komponenten der Eichgruppenmetrik mit den Feldern selbst vermischt werden. Die Skalenabhängigkeit der Metrik unter Renormierung wird dann mit der Skalenabhängigkeit der Feldkomponenten und der Ladung verwechselt und verwechselt - einer der größten Fehler und Missverständnisse, die in der Literatur verbreitet werden (obwohl es einige Stellen in der Literatur gibt, an denen dies der Fall war genannt, wobei sowohl die Regularisierung als auch die Renormierung in Bezug auf eine Auswirkung auf die konstitutiven Koeffizienten beschrieben werden). Es ist tatsächlich die Metrik, die skalenabhängig ist, und nicht das Feld und die Ladung.

Dass die „Skalenabhängigkeit“ der Renormierungstheorie tatsächlich die Eichgruppenmetrik selbst betrifft, können Sie anhand der Renormierung für das Potenzial erkennen$A$und Feldstärke$F$geht wie$A₊ ⇒ √Z₃ A₊$,$F₊ ⇒ √Z₃ F₊$ wenn die Felder nach der Gaußschen Konvention geschrieben sind , und wenn Sie sowohl diese als auch die Lagrange-Verteilung genau untersuchen, werden Sie sehen, dass die Lagrange-Verteilung so abläuft$½ ε₀ (E² ‒ B²c²) ⇒ ½ Z₃ ε₀ (E² ‒ B²c²)$, sobald die Gaußsche Skalierung entfernt wird. Ebenso kann mit der Gaußschen Skalierung alles geschrieben werden$√ε₀$im Zähler, als

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = \sqrt{4πε₀} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) ⇒ \sqrt{4πε₀Z₃} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) = \sqrt{Z₃} (𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊).$$ Also, es ist tatsächlich$ε₀$Das$Z₃$geht mit, anstatt mit$A$,$F$oder seine Bestandteile!

In ähnlicher Weise für die Eichtheorie der Koeffizient$Z₃$gehört zur Messgerätegruppe Metrik$k_{ab}$, welches ist was$ε₀c$entspricht. Um die Felder analog zu der Gaußschen Konvention neu zu skalieren, müsste zuerst die Quadratwurzel der Metrik genommen werden (dh eine Singulärwertzerlegung der Metrik). Daher wird normalerweise auch angenommen, dass die Eichgruppenmetrik positiv oder negativ bestimmt ist.

Die konstitutiven Gesetze im Allgemeinen mit Lorentz-invarianten Lagrangianern

Die unter Punkt 8 aufgestellten konstitutiven Gesetze sind die für die Yang-Mills-Aktion. Allgemeiner für eine Eichtheorie, die sich aus einer gegebenen Aktion ergibt

$$S = ∫ 𝔏(𝐀,φ,𝐁,𝐄) d⁴x$$ mit Lagrange-Dichte$𝔏$, können die konstitutiven Gesetze geschrieben werden: $$𝐃_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐄^a}, 𝐇_a = -\frac{∂𝔏}{∂𝐁^a}, 𝐉_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐀^a}, ρ_a = -\frac{∂𝔏}{∂φ^a}$$ Anwenden der Variation $$δ𝔏 = Tr(δ𝐄·𝐃 ‒ δ𝐁·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ und Verwenden der Feldpotentialgleichungen zum Reduzieren$δ𝐄$,$δ𝐁$Zu$δ𝐀$,$δφ$ $$δ𝔏 = Tr((-∇δφ ‒ \frac{∂(δ𝐀)}{∂t} + δ(φ𝐀 ‒ 𝐀φ))·𝐃 ‒ (∇×(δ𝐀) + δ(𝐀×𝐀))·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ Integrieren Sie nach Teilen, um zu erhalten: $$δ𝔏 = Tr(∇(-δφ·𝐃 ‒ δ𝐀×𝐇) ‒ \frac{∂(δ𝐀·𝐃)}{∂t} + δφ(∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 ‒ ρ) ‒ δ𝐀·(∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ ‒ 𝐉))$$ und erhält als Ergebnis die Feldgleichungen.

Wenn der Lagrange-Operator Lorentz-abhängig ist, dann wäre der feldabhängige Teil des Lagrange-Operators nur eine Funktion seiner Lorentz-Invarianten

$$ℑ^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²),$$ $$𝔍^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐁^b + 𝐁^a·𝐄^b),$$ mit dem daraus resultierenden konstitutiven Gesetz: $$𝐃_a = ε_{ab} 𝐄^b + θ_{ab} 𝐁^b,$$ $$𝐇_a = ε_{ab} c² 𝐁^b ‒ θ_{ab} 𝐄^b,$$ die eine axiale Version enthält$θ_{ab}$der Permittivität, wobei die Koeffizienten Funktionen von sind$ℑ$Und$𝔍$ $$ε_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂ℑ^{ab}}, θ_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂𝔍^{ab}}$$ so dass $$\frac{∂ε_{ab}}{∂ℑ^{cd}} = \frac{∂ε_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂ε_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂θ_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂𝔍^{ab}}.$$ Sie müssen nicht konstant sein. In einer quantisierten Theorie würden sie als „konstant“ modelliert.$ε₀$,$θ₀$die auf unterschiedlichen Maßstäben unterschiedliche Erscheinungen annehmen – dh die eigentliche Essenz der „Renormierung“ selbst – und einen entsprechenden Renormierungsgruppenfluss für die Felder und die Ladung erzeugen würden, wenn sie in Gaußscher Form geschrieben sind.

Eine Folge dieser konstitutiven Gesetze ist, dass die rechte Seite der Kontinuitätsgleichung 0 ist:

$$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0.$$ Daher reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf $$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 0,$$ und Wongs Gleichung (in 6) gilt.

Der$θ$Koeffizienten sind nur bis auf eine additive Konstante definiert, da die Feldgleichungen unter der Transformation symmetrisch sind

$$(𝐃_a, 𝐇_a) → (𝐃_a ‒ θ_{0ab} 𝐁^b, 𝐇_a + θ_{0ab} 𝐄^b),$$ Dies ist ein Rest und eine reduzierte Version der Teintsymmetrie.

Für den Elektromagnetismus gelten die Bedingungen$(ℑ,𝔍) = (0,0)$Definieren Sie das Nullfeld - dh das Feld, das der reinen Strahlung zugeordnet ist. So können wir selbst für allgemeine Lagrangeoperatoren die Nullfeldwerte der konstitutiven Koeffizienten definieren (unter Unterdrückung von Lie-Algebra-Indizes):

$$ε₀ ≡ ε(0,0), k₀ = ε₀ c, θ₀ ≡ θ(0,0) = 0.$$ letzteres kann auf 0 gesetzt werden, indem die obige Transformation verwendet wird. Entsprechend folgt aus dem Satz von Taylor (das heißt: der exakten Form des Satzes von Taylor – mit Rest), dass alle Lagrange-Dichten, die Eichfelder beinhalten – wenn die Lagrange-Dichte Lorentz-Symmetrie besitzt – geschrieben werden können als $$𝔏(ℑ,𝔍) = 𝔏(0,0) + k₀ ℑ + ½ (β₀ ℑ ℑ + β₁ (ℑ 𝔍 + 𝔍 ℑ) + β₂ 𝔍 𝔍).$$ Bei schwachen Feldern reduziert sich dies auf $$𝔏(ℑ,𝔍) ≃ 𝔏_M + 𝔏_{YM}$$ Wo $$𝔏_M ≡ 𝔏(0,0), 𝔏_{YM} = k₀ ℑ$$ ist die Lagrange-Dichte für Materie und für alle anderen Felder und$𝔏_{YM}$ist der Yang-Mills-Lagrangian selbst.

Die Stoffgesetze für isotrope Medien

Wenn der Lagrangian nur isotrop ist (wie es für isotrope Medien geeignet wäre), und nicht auch boost-invariant, dann wäre der feldabhängige Teil eine Funktion seiner skalaren Invarianten. In diesem Fall wäre es tatsächlich besser, zu einer Behandlung zurückzukehren, die im Geiste Maxwell näher kommt, indem man die Routhsche Dichte verwendet $ℜ = 𝔏 + Tr(𝐁·𝐇)$, anstelle von$𝔏$, mit der Variation

$$δℜ = Tr(δ𝐄·𝐃 + δ𝐇·𝐁 + ⋯)$$ die die "Induktions"-Felder behandelt$𝐃$,$𝐁$wie abgeleitet und die "Kraft"-Felder$𝐄$,$𝐇$als grundlegend. Die entsprechenden skalaren Invarianten sind $$ℑ^{ab} = 𝐄^a·𝐄^b, 𝔍^a_b = ½ 𝐄^a·𝐇_b, 𝔎_{ab} = 𝐇_a·𝐇_b$$ mit Koeffizienten gegeben durch $$κ_{ab} = \frac{∂ℜ}{∂ℑ^{ab}}, λ_a^b = \frac{∂ℜ}{∂𝔍^a_b}, μ^{ab} = \frac{∂ℜ}{∂𝔎_{ab}}$$ und Verfassungsrecht $$𝐃_a = κ_{ab} 𝐄^b + λ_a^b 𝐇_b,$$ $$𝐁^a = λ_b^a 𝐄^b + μ^{ab} 𝐇_b.$$ Die Symbole für die Dielektrizitätszahl $κ$und Durchlässigkeit $μ$gehen eigentlich bis auf Maxwell zurück, der die Namen in Analogie zum Federkoeffizienten erfand$k$und Masse$m$. Der axiale Koeffizient$λ$war nicht Teil von irgendjemandes Darstellung der klassischen Theorie, ist aber so wie sie ist in der Liste der Möglichkeiten enthalten$θ$. Beide sind Pseudo-Skalare, und wenn sie 0 sind, dann beide$κ$Und$ε$übereinstimmen:$θ_{ab} = 0 ⇔ λ_a^b = 0 ⇒ κ_{ab} = ε_{ab}$.

Im Vakuum beziehen sie sich auf den ersten Satz konstitutiver Koeffizienten durch:

$$ε_{ab} = κ_{ab} ‒ λ_a^c μ⁻¹_{cd} λ_b^d,$$ $$θ_{ab} = λ_a^c μ⁻¹_{cb},$$ $$ε_{ab} c² = μ⁻¹_{ab}.$$ Diese Beziehung ist nur dann konsistent, wenn$μ$ist kein Singular; dh wenn der hessisch$\frac{∂²ℜ}{∂𝐇_a ∂𝐇_b}$ist nicht singulär. Aber das ist schon die Voraussetzung, um zwischen der Routhschen Dichte umwandeln zu können$ℜ$und Lagrange-Dichte$𝔏$.

Isotropie ist im Allgemeinen eine frameabhängige Bedingung. Daher können diese Beziehungen nur in einem Frame dargestellt werden. Zu Maxwells Zeit und Anfang des 20. Jahrhunderts wurde dies als stationärer Rahmen bezeichnet . Für andere Frames würden sie die Form annehmen

Die verallgemeinerten Maxwell-Minkowski-Beziehungen:

$$𝐁 ‒ α 𝐆 × 𝐄 = λ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + μ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃),$$ $$𝐃 + α 𝐆 × 𝐇 = κ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + λ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃).$$

Für allgemeine Werte von$α$, dies sind die Gleichungen, die für eine Geometrie geeignet sind, die die folgenden Invarianten hat:

$$dt² ‒ α(dx² + dy² + dz²)$$ $$((∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²) ‒ α (∂/∂t)²$$ Es ist auf die Maxwell-Minkowski-Beziehungen spezialisiert$α > 0$, mit Lichtgeschwindigkeit gegeben durch$c = \sqrt{1/α}$; zu ihrer nicht-relativistischen Version when$α = 0$; und in die euklidische 4D-Form$α < 0$, die für die euklidische Feldtheorie verwendet werden könnte.

In den Maxwell-Minkowski-Beziehungen werden die Invarianz unter Boosts (im Allgemeinen) gebrochen und die Geschwindigkeit$𝐆$markiert und identifiziert den ausgezeichneten Rahmen, in dem sich die konstitutiven Beziehungen auf eine isotrope Form reduzieren$𝐁 = λ𝐄 + μ𝐇$,$𝐃 = κ𝐄 + λ𝐇$.

All dies lässt sich entsprechend auf Eichfelder mit den Koeffizienten verallgemeinern$κ$,$λ$Und$μ$ersetzt bzw. durch$κ_{ab}$,$λ^a_b$Und$μ^{ab}$:

$$𝐁^a ‒ α 𝐆 × 𝐄^a = λ^a_b (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + μ^{ab} (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b),$$ $$𝐃_a + α 𝐆 × 𝐇_a = κ_{ab} (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + λ^b_a (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b).$$ Die Produktmatrix$εμ = κμ ‒ λλ^T$hätte dann eine singuläre Wertzerlegung, die die Beziehung verallgemeinert$εμ = 1/V²$, was die Wellengeschwindigkeit ergibt$V$im Medium würden Eigenwerte erzeugen, die unterschiedliche Wellengeschwindigkeiten für unterschiedliche Eigenmoden ergeben.

Ich habe noch nie jemanden gesehen, der irgendetwas mit klassischen oder Quanten-Eichfeldern für bewegte Medien gemacht hat, also könnte das alles neu sein. Aber es ist die offensichtliche Verallgemeinerung der klassischen Theorie der sich bewegenden Medien für die elektromagnetische Theorie, und es könnte möglich sein, sie direkt mit dem effektiven Lagrange- Ansatz zu verbinden, der in der Quantenfeldtheorie verwendet wird, und den Begriffen "Abschirmung" tatsächlich eine genaue Bedeutung zu geben und sie zu quantifizieren " oder "Anti-Screening"-Vakuua und andere Formen wirksamer Medien.