Gibt es eine Differentialgleichung, die eine Schaltung mit einer beliebigen Spannungsquelle darstellen kann, die über eine Antenne angeschlossen ist?

Eine RLC-Schaltung mit einer Spannungsquelle lässt sich durch die Differentialgleichung charakterisieren:

L C ICH ¨ ( T ) + R C ICH ˙ ( T ) + ICH ( T ) − C v ˙ ( T ) = 0
... aber das gilt nur, solange die Strahlung ignoriert wird.

Meine Frage ist, was wird diese Gleichung im allgemeinen Fall, wenn die Strahlung nicht vernachlässigt werden kann und auch berücksichtigt werden muss? Ich frage dies, weil der Strahlungswiderstand jeder Antenne von der Frequenz des (sinusförmigen) Stroms abhängt, der durch sie fließt - also nehme ich an, dass er ihn nicht einfach zur hinzufügen kann R Begriff.

ich erwarte ICH ˙ ( T ) beteiligt sein - als Fernfeld E → kommt drauf an J → ˙ wovon herkommen muss ICH ˙ irgendwie. Aber ich scheine nicht in der Lage zu sein, darüber hinauszugehen.

Suchen Sie nach Hinweisen - gibt es Lehrbücher, die sich mit diesem Teil befassen? Bisher hat mein Googeln nichts ergeben, also weiß ich wohl nicht, wonach ich suchen soll, oder vielleicht ist dies etwas, das durch die Risse zwischen den Lehrbüchern der Schaltungstheorie und den Lehrbüchern der Antennentheorie gefallen ist (die meisten Elektromagnetismus-Texte scheinen das zu tun springen zu cos ⁡ ω T oder e J ω T und dort bleiben).

Eine andere Sache - würden die L & C-Werte, die aus der Antennengeometrie berechnet werden können, ausreichen, um die Reaktanz im Hochfrequenzfall zu berücksichtigen, oder steckt etwas anderes dahinter?

Ich suche nach einem Verständnis innerhalb der Grenzen der klassischen Elektrodynamik (dh ohne Quantenmechanik).

Danke...

Antworten (2)

Ich möchte auf der Antwort von Lionel Brits und der von Ihnen zitierten elektronischen Buchreferenz Sophocles J. Orfanidis, "Elektromagnetische Wellen und Antennen", Kapitel 22, aufbauen .

Die Struktur der Beziehung wird leichter verständlich, wenn Sie an die Laplace- oder Fourier-Transformation all Ihrer Impedanzen denken. Eine Beziehung zwischen ICH ( T ) Und v ( T ) die durch eine lineare Differentialgleichung mit konstantem Koeffizienten gegeben ist, führt immer zu einer Impedanz Z ( ich ω ) oder Z ( S ) ( ω = Fourier-Transformations-Frequenzvariable, S = Komplexe Frequenz der Laplace-Transformation), die eine rationale Funktion von ist ich ω oder S .

Nun setzt sich die Impedanz einer Antenne im Allgemeinen aus Rückwirkungen des elektromagnetischen Feldes zusammen, die reine Verzögerungen enthalten . Das liegt an der endlichen Lichtgeschwindigkeit. Wenn die Antenne nicht überall perfekt angepasst ist, besteht die Impedanz aus Komponenten, die durch verzögerte Reflexionen von verschiedenen Teilen ihrer Struktur entstehen. Man kann die Antenne nicht überall auf allen Frequenzen anpassen . Es wird also immer Begriffe der Form geben exp ⁡ ( − S τ ) im Zähler und Nenner der Impedanz Z ( S ) (Hier S die komplexe Frequenz ist), wobei τ ist eine Hin-und-Zurück-Verzögerung für eine Reflexion. Wenn es erweitert wird, exp ⁡ ( − S τ ) entspricht dem unendlichen Differentialoperator:

1 − τ D T + τ 2 2 ! D T 2 − τ 3 3 ! D T 3 + ⋯

Sie werden so etwas also nie genau durch eine endliche Differentialgleichung darstellen.

Das ist die Theorie. In der Praxis könnten Sie abhängig von den wichtigen Zeitskalen wahrscheinlich eine gute Annäherung erhalten, indem Sie nur eine endliche Anzahl von Termen verwenden. Wie viele sind schwer zu beantworten: Dies müsste von jemandem mit Erfahrung in der numerischen Modellierung von Antennen beantwortet werden. Aber aufgrund der exp ⁡ ( − S τ ) Hinsichtlich der Reihenfolge der Ableitungen, die in Ihren Ausdrücken auftreten, gibt es keine theoretische Grenze.

Danke @WetSavannaAnimal, das ist großartig. Ich habe sowieso gesucht, was mit einer beliebigen Antenne passiert - was bei bestimmten Antennendesigns passiert, ist allgemein bekannt. Damit ist meine Frage vollständig beantwortet.

Angenommen, Sie haben einen Dipolstrahler . Dann können Sie den Strahlungswiderstand nachschlagen oder berechnen R R A D = 2 π 3 Z 0 ( ℓ λ ) 2 , die um den Faktor 4 abweichen kann.

Ich würde sagen, dass Sie das Superpositionsprinzip verwenden können, um das Problem nur im Frequenzraum zu behandeln. Es gibt auch Reaktanz zu denken.

Ich kenne den Ausdruck für den Strahlungswiderstand des Dipols – aber Sie werden feststellen, dass er enthält λ , was eine sinusförmige Anregung voraussetzt. Ich habe mich gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt, dies vollständig im Zeitbereich zu bewältigen
@Avijit, meine Antennentheorie ist rostig, aber laut Lionelbrits Antwort gilt die Antennenspannung als Quadrat der Frequenz der Stromquelle, wenn der Strahlungswiderstand proportional zum Quadrat der Frequenz ist. Was, wenn ich von oben nachdenke, darauf hinweist, dass: v ( T ) = k D 2 ich ( T ) D T 2
@AlfredCentauri ... leider würde diese Beziehung nur für kurze Dipole gelten. Für eine kleine Schleife bekommen wir R R ∝ λ − 4 ... und für einen großen Dipol mutiert es zu einem großen Ausdruck in λ , wie hier gezeigt
Gibt es eine Differentialgleichung, die eine Schaltung mit einer beliebigen Spannungsquelle darstellen kann, die über eine Antenne angeschlossen ist?
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