Gibt es eine mathematische Darstellung, die die Ausgangsspannung eines Abwärts- oder Aufwärtswandlers im diskontinuierlichen Modus darstellt?

Gibt es eine Formel, die die Ausgangsspannung eines Bucks darstellt?$\color{red}{\boxed{\text{or}}}$Aufwärtswandler im diskontinuierlichen Betrieb?

Die kurze Antwort für einen Aufwärtswandler lautet:$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}}}$

• $D$ist Einschaltdauer
• $L$ist Induktivität
• $F_{SW}$ist die Schaltfrequenz

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Lange Antwort:

Für einen Aufwärtswandler ist die$\color{red}{\text{discontinuous}}$Modusumschaltzyklus besteht aus drei Abschnitten: -

• Laden Sie den Induktor mit Energie auf
• Übertragen Sie diese Energie auf die Last
• Halten, bis der nächste Zyklus beginnt (dies geschieht nur im diskontinuierlichen Modus)

Steigt der Laststrom, muss die zu übertragende Energie steigen, um die Ausgangsspannung konstant zu halten. Dies erfolgt durch kontinuierliches Erfassen der Ausgangsspannung und Anpassen des Arbeitszyklus (Ladezeit relativ zur gesamten Schaltzykluszeit), wenn sich die Spannung ändert. Der Arbeitszyklus bestimmt, wie viel Energie gespeichert und übertragen werden muss.

Um zur oberen Gleichung zu gelangen, müssen Sie zunächst ausrechnen, wie viel "magnetische" Leistung auf die Last übertragen werden muss, und dies ist möglicherweise nicht so offensichtlich, wie Sie zunächst denken.

Zum Beispiel möchten Sie vielleicht, dass Vout 16 Volt beträgt und eine 5-Ω-Last speist, und Ihre Eingangsversorgung (Vin) könnte 12 Volt betragen. Daher beträgt die Lastleistung 16²/5 = 51,2 Watt. Dies ist jedoch nicht die Leistung, die über den Energiespeichermechanismus des Induktors übertragen werden muss.

Tatsächlich muss der Induktor Vout nur von 12 Volt auf 16 Volt (Δ 4 Volt) "anheben", daher ist die Anhebeleistung etwas geringer. Wenn wir den Laststrom (16/5) berechnen, erhalten wir 3,2 Ampere, daher beträgt die Leistungserhöhung des Induktors nur 4 Volt x 3,2 Ampere = 12,8 Watt.

_{In der realen Welt würden wir einige Watt für Vorwärtsleitungsverluste der Diode hinzufügen. Ich werde dies ignorieren, da jeder anständige Aufwärtswandler sein Tastverhältnis (D) erhöht, um Diodenverluste auszugleichen. Mit anderen Worten, ich kann davon ausgehen, dass der Regelkreis das tut, was er tun muss.}

Unter Verwendung der oben berechneten „Uplift“-Leistung ist die pro Schaltzyklus zu übertragende Energie (W oder Arbeit) also diese Leistung dividiert durch die Schaltfrequenz$F_{SW}$. Wir können dann die bekannte Induktorenergieformel verwenden: -

$$W = \dfrac{L\cdot I^2}{2}$$

Daraus können wir berechnen, wie viel Strom ($I_{PK}$) muss in den Induktor fließen: -

$$I_{PK} = \sqrt{\dfrac{2\cdot W}{L}}$$

Wir können dann diese bekannte Formel verwenden: -

$$V = L\cdot \dfrac{di}{dt}$$

Wir können es wie folgt neu anordnen: -

$$t_1 = \dfrac{L\cdot I_{PK}}{V_{IN}}$$

Parameter$t_1$ist die Ladezeit und der Arbeitszyklus,$D = t_1\cdot F_{SW}$

Zusammenfassend erhalten wir Folgendes: -

$$D = \dfrac{1}{V_{IN}}\cdot\sqrt{2\cdot L\cdot F_{SW}\cdot P_{UPLIFT}}$$

Dies kann auch umgeschrieben werden als: -

$$D = \dfrac{1}{V_{IN}}\cdot\sqrt{\dfrac{2\cdot L\cdot F_{SW}\cdot (V_{OUT}-V_{IN})}{R_{LOAD}}}$$

Um zur Formel ganz oben zu gelangen, ist eine kleine mathematische Manipulation mit der unmittelbar obigen Formel erforderlich: -

$$\dfrac{D^2\cdot V_{IN}^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}} = V_{OUT}\cdot(V_{OUT}- V_{IN})$$

Dies kann in eine quadratische Gleichung umgewandelt werden: -

$$\dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}} = \dfrac{V_{OUT}^2}{V_{IN}^2} - \dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}}$$

Was eine Lösung hat, wie oben auf der Seite gezeigt: -

$$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}}}$$

Bild und Formeln von dieser Seite . Es gibt auch einen Rechner wie diesen: -