Gibt es einen Punkt, an dem die Spaghettifizierung am höchsten ist?

Eine Gezeitenkraft entsteht, weil verschiedene Teile des einfallenden Objekts versuchen, sich entlang verschiedener Geodäten zu bewegen. Angenommen, wir nehmen den 3-Vektor$\eta$der Abstand zwischen zwei Punkten sein, dann können wir berechnen, wie$\eta$ändert sich, wenn das Objekt nach innen fällt. Wenn$\eta$konstant ist, ändert sich der Abstand zwischen den Punkten nicht und es gibt keine Gezeitenkraft. Wenn$\eta$zunimmt, dann werden die Punkte auseinander gestreckt, während if$\eta$sinkt, werden die Punkte zusammengedrückt.

Jedenfalls erhalten wir nach einigem hektischen Kratzen mit dem Stift (die Details sind in jedem GR-Lehrbuch zu finden):

$$\frac{D^2\eta^r}{d\tau^2} = \frac{r_s}{r^3}\eta^r$$

$$\frac{D^2\eta^\theta}{d\tau^2} = -\frac{r_s}{2r^3}\eta^\theta$$

$$\frac{D^2\eta^\phi}{d\tau^2} = -\frac{r_s}{2r^3}\eta^\phi$$

Wo$r$,$\theta$Und$\phi$sind die räumlichen Schwarzschild-Koordinaten und$r_s$ist der Schwarzschild-Radius$r_s = 2GM/c^2$.$D$ist die kovariante Ableitung. Die Größen auf der linken Seite sind effektiv eine Beschleunigung, also eine Kraft pro Masseneinheit, die wir als Gezeitenkraft interpretieren können.

Der Punkt von all dem ist, dass die Gezeitenkräfte proportional sind$1/r^3$. Das bedeutet, dass sie am besten sind$r \rightarrow 0$dh sie erreichen ein Maximum, wenn das einfallende Objekt die Singularität erreicht.

Beachten Sie, dass die Gezeitenkräfte bei jedem Wert von endlich sind$r \gt 0$sie sind also am Ereignishorizont endlich. In der Tat am Horizont, dh wann$r = r_s$, erhalten wir (ich zeige nur die Radialgleichung):

$$\frac{D^2\eta^r}{d\tau^2} = \frac{1}{r_s^2}\eta^r = \frac{c^4}{4G^2M^2}\eta^r$$

Die Gezeitenkraft am Horizont nimmt also mit dem inversen Quadrat der Masse des Schwarzen Lochs ab.