Kann es ein "sicheres" Schwarzes Loch geben, was ist der Mechanismus, um sicherzustellen, dass dies nicht passiert?

In der Tat ist eine solche Struktur nicht möglich, und man kann dies als Aussage über Starrheit ansehen.

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Zuerst einige Berechnungen

Betrachten Sie einen Teil einer solchen Struktur. Es sind Schwarzschild-Koordinaten$(t,r,\theta,\phi)_\mathrm{S}$wird sein$x^\mu = (t,r_0,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{S}$, Wo$t$ist ein willkürlicher Parameter, den ich ausgewählt habe, um mit der Standardzeitkoordinate übereinzustimmen, und die anderen Werte sind fest. Das heißt, der Punkt bewegt sich nur durch die Zeit.

Lassen Sie uns jetzt in Kruskal-Szekeres-Koordinaten arbeiten $(T,X,\theta,\phi)_\mathrm{KS}$, die den Ereignishorizont problemlos durchziehen. (Wir könnten auch in Schwarzschild arbeiten und die gleiche Antwort erhalten, aber das ist nur zur Sicherheit.) Die Transformation ist gegeben durch

$$\begin{align} T & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ X & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ \theta & = \theta; \\ \phi & = \phi. \end{align}$$

In diesen Koordinaten haben wir$x^\mu = (T,X,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{KS}$, Wo$T$Und$X$beide hängen von unserem Weltlinienparameter ab$t$(und fester Parameter$r$). Punkte bezeichnen Differenzierung in Bezug auf$t$, wir haben$\dot{x}^\mu = (\dot{T},\dot{X},0,0)_\mathrm{KS}$, Wo

$$\dot{T} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases}$$ Und $$\dot{X} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M. \end{cases}$$

Die Metrik ist gegeben durch

$$ds^2 = \frac{32M^3}{r} \mathrm{e}^{-r/2M} (-\mathrm{d}T^2 + \mathrm{d}X^2) + r^2 (\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2).$$ Damit können wir für unsere Weltlinie die Menge auswerten $$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = \frac{2M}{r} - 1,$$ was für alle gilt $r$Sowohl innerhalb als auch außerhalb des Horizonts.

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Jetzt einige Analysen

Die Quantität$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu$ist das innere Produkt der Tangente an die Weltlinie mit sich selbst. Insbesondere ein Teilchen$4$-Geschwindigkeit$u^\mu$gehorcht

$$g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \Big(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\Big)^{-2},$$ Wo $\tau$ist die Eigenzeit des Teilchens. Aber für ein massives Teilchen $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$stets. So können wir lösen, um zu finden $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \pm \sqrt{1-\frac{2M}{r}}.$$

Das Vorzeichen bestimmt, ob wir uns in der Zeit vorwärts oder rückwärts bewegen oder nicht. Aber beachten Sie, dass etwas Schreckliches passiert$r < 2M$: die rechte Seite wird imaginär. Das heißt, es gibt keine Lösung für ein massives Teilchen, das sich entlang der von uns vorgeschlagenen Weltlinie bewegt, die als konstant in Radius und Winkelkoordinaten definiert wurde.

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Was das über das Szenario aussagt

Kein massives Teilchen kann widerstehen, sich in Richtung des Zentrums des Schwarzen Lochs zu bewegen. Keine Beschleunigung (und es sind endliche intermolekulare Kräfte, die endliche Beschleunigungen anwenden, um Partikel in starren Objekten am freien Fall zu hindern) wird diese Weltlinie zeitähnlich machen. In der Tat bewegt sich die Bewegung in Richtung der Singularität, sobald sie sich innerhalb des Ereignishorizonts befindet, in die Zukunft.

Materielle Eigenschaften sind der Struktur der Raumzeit untergeordnet. So wie man kein Material entwerfen kann, das so stark ist, dass es sich nicht in der Zeit vorwärts bewegt, kann man kein Material entwerfen, das der Schwerkraft in einem Schwarzen Loch standhalten kann.

Sie können eine allgemeinere Analyse durchführen$\theta$Und$\phi$zu variieren, und das Ergebnis wird das gleiche sein. Darüber hinaus können Sie zeigen, dass jede zeitähnliche Weltlinie innerhalb des Ereignishorizonts die Singularität in endlicher Eigenzeit treffen wird – Sie können Ihre Struktur nicht einmal kontinuierlich schrumpfen lassen, ohne das Zentrum zu treffen. Wenn sich das Schwarze Loch dreht, wird es ... interessant ... aber das ist eine Analyse für ein anderes Mal.

Was ich für eine kugelförmige Struktur halte$M$, bestehend aus einem extrem steifen Material, das seine Oberfläche bildet, die ansonsten hohl ist. Also nehme jetzt an$M$ist so dicht, dass es in seinem Schwarzschild-Radius enthalten ist, aber das Material ist so starr, dass es nicht wirklich zusammenbricht.

Das ist nicht realistisch, denn in der Praxis wäre eine solche Struktur nicht zu bilden. Aber egal, es ist gut, über solche Dinge nachzudenken.

Dann im absoluten Zentrum von$M$Die Gravitationskraft, die man erfahren würde, ist 0 (tatsächlich gibt es eine Kugel mit einem Volumen ungleich Null um das Zentrum herum, für die man keine signifikante Gravitationskraft erfährt).

Fair genug. Beachten Sie, dass bei einem gewöhnlichen Gravitationskörper die Schwerkraft an einem bestimmten Ort mit dem lokalen Gradienten des Gravitationspotentials zusammenhängt. Dies wiederum bezieht sich auf den lokalen Gradienten in der "Koordinaten"-Lichtgeschwindigkeit. Sie können dies effektiv mit optischen Uhren in verschiedenen Höhen messen. Uhren laufen langsamer, wenn sie niedriger sind. Wenn Sie sich an einem Ort wie dem Erdmittelpunkt befinden, an dem alle Uhren um Sie herum gleich schnell laufen, befinden Sie sich an einem Ort, an dem es keine Gravitationskraft gibt.

In diesem Fall,$M$ist ein schwarzes Loch, aber es trägt keine Singularität, dh es ist ein Ereignishorizont, der ein ansonsten ziemlich normales Stück Weltraum umgibt.

Es ist nicht besonders normal, aber egal. Wir könnten uns einen gedanken Ort innerhalb des Ereignishorizonts eines supermassiven Schwarzen Lochs vorstellen.

Nun, ich verstehe sie nicht allzu gut, aber es scheint, dass alle Schwarzen Löcher Singularitäten tragen

Das sagen die Leute. Aber wenn Sie die digitalen Papiere von Einstein lesen würden, würden Sie vermutlich nicht der Behauptung zustimmen, dass es im Zentrum jedes Schwarzen Lochs eine Punktsingularität gibt. Der entscheidende Punkt ist : " Die Krümmung der Lichtstrahlen tritt nur in Räumen auf, in denen die Lichtgeschwindigkeit räumlich variabel ist" .

Bedeutet das, dass diese Art von Struktur unmöglich ist?

Nein. Sie werden Leute finden, die behaupten, dass ein Körper, sobald er sich innerhalb des Ereignishorizonts befindet, in der zentralen Singularität enden wird. Beachten Sie jedoch, dass am Ereignishorizont die Koordinatenlichtgeschwindigkeit Null ist und nicht niedriger werden kann . Das bedeutet, dass es innerhalb des Ereignishorizonts keine Schwerkraft gibt. So wird Ihre Struktur nicht herunterfallen.

Wenn ja, kann man damit relativistische Schranken für die Steifigkeit eines Materials ableiten?

Nein. Dafür ist das Szenario zu unrealistisch. Aber was Sie ableiten können, sind einige Grenzen der Abstraktion. Wenn Ihnen zum Beispiel jemand von Kruskal-Szekeres-Koordinaten erzählt , nehmen Sie es mit einer Prise Salz, denn sie enthalten einen Schulfehler. Sie ersetzen die t-Koordinate durch eine neue Zeitkoordinate, die die unendliche gravitative Zeitdilatation am Ereignishorizont völlig ignoriert. An dieser Stelle bleibt Ihre optische Uhr stehen. Kruskal-Szekeres-Koordinaten setzen einen angehaltenen Beobachter effektiv vor eine angehaltene Uhr und behaupten, dass er sie normal ticken sieht. Er tut es nicht, weil die Uhr angehalten ist, und er auch. Sie können ein ähnliches Problem auf der MTW-Seite unten erkennen. Das Schwarzschild-Diagramm auf der linken Seite zeigt eine abgeschnittene Zeitachse und einen einfallenden Körper, der a) bis zum Ende der Zeit und zurück geht und b) istan zwei Orten gleichzeitig . Das Kruskal-Szekeres-Diagramm auf der rechten Seite macht dies "gut erzogen", aber ich fürchte, es ist ein mathematisches Märchen.